《线性代数》课程教学资源（课件，A）5-3相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型相似矩阵$5.3方阵的相似二、方阵可对角化的条件三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

第五章相似矩阵与二次型一、方阵的相似定义5.3.1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P.使P-IAP= B,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成的相似变换矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 一、方阵的相似

第五章相似矩阵与二次型矩阵相似的性质(1)自反性 A与A本身相似;E-1AE=A(2)对称性 A与B相似，则B与A相似：若P-1AP = B，则PBP-1 = A,即(P-1)-1BP = A(3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似.若P-1AP=B,Q-1BQ= C则Q-1P-1APQ = C即(PQ)-1APQ = C

第五章 相似矩阵与二次型 矩阵相似的性质 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章相似矩阵与二次型证明 A与B相似β S可逆阵P,使得PAP=B\B-IE=P-IAP- P-'(IE)P=P-'(A- IE)P=P-1|IA - / E|P=A- IE

第五章 相似矩阵与二次型 证明

第五章相似矩阵与二次型推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B)，IA|=|Bl一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可对角化

第五章 相似矩阵与二次型 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可对 角化

第五章相似矩阵与二次型二、方阵可对角化的条件假设存在可逆阵P,使P-IAP=L为对角阵证明必要性把P用其列向量表示为P=éP,P2,L，P由P-1AP=L,得AP= PL,elU心U0e:e1 éAp,Ap2,L ,Apn=色,Pi,l 2P2,L ,l nP白

第五章 相似矩阵与二次型 证明 二、方阵可对角化的条件 必要性

第五章相似矩阵与二次型于是有 Ap,=l,P,(i=1,2,L ,n)可见1，是A的特征值，而P的列向量p，就是A的对应于特征值1的特征向量，又由于P可逆，所以p，P2,L，P,线性无关如果A有n个线性无关的特征向量充分性设 Ap, =l ;P; (i=1,2,L ,n)1 éAp,Ap2,L ,Ap,=色,P,,l 2P2,L ,1 nPn由

第五章 相似矩阵与二次型 充分性

第五章相似矩阵与二次型eluuuuO百na令=éPi,P2,,p,得 AP=PA即 P-1AP =Λ故A可对角化

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型例1判断下列方阵能否对角化é3 -lu)e13元-1解：A的特征多项式为3-1-1(4 - 1)(2 - 1)A-IE13-P A的特征值为,=2，1，=4

第五章 相似矩阵与二次型 解：A的特征多项式为

第五章相似矩阵与二次型对I,=2，基础解系 P1 =对 I,=4，基础解系 p2=(拉él1ié2Oi令P则P-AP二=4160ké2k ué2ou(求Ak)UDP=AKe:e6041740é2kouip-l=Peé14.0a

第五章 相似矩阵与二次型