《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）5-4实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型$ 5.4实对称矩阵的相似对角形实对称矩阵的性质实对称矩阵对角化的方法诚三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章相似矩阵与二次型一、实对称矩阵的性质引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数引理5.4.2实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的引理5.4.3设A为 n阶对称矩阵，2是A的特征方程的1重根，则对应特征值恰有r个线性无关的特征向量

第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 一、实对称矩阵的性质 引理5.4.2 实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的. , , . 5.4.3 A n A r r   引 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量 理

第五章相似矩阵与二次型定理5.4.1设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-IAP = Λ,其中人是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定

第五章相似矩阵与二次型实对称矩阵对角化的方法二、华根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1.求A的特征值2.求出A的属于特征值2.的特征向量3.将属于特征值入,的特征向量正交化、单位化；4.以特征向量为列向量写出正交矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将属于特征值𝝀𝒊的特征向量正交化、单位化; 2. ; 求出A的属于特征值i的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 4.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型00A例1 设 A=1求正交矩阵P，使P-AP为对角形矩阵解(1)第一步求A的特征值04-20=(2 - 2)(4 - 2)203-2A-2E=103-2得特征值2 =2, 22= 2 = 4

第五章 相似矩阵与二次型     − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) ,   2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP −     =       例 设 ， 求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型(2)第二步由(A-,E)x=0,求特征值,对应的特征向量0对 a, = 2,由(A-2E)x =0,得基础解系, =/ 1-1对 , = a, = 4,由(A-4E)x = 0,得基础解系05,与,恰好正交53 =52=0Lo]11所以5,52,5两两正交

第五章 相似矩阵与二次型 (2) 0, 第二步 由( A E x − =   i i ) 求特征值 对应的特征向量 1 1 0 2, ( 2 ) 0, 1 1   A E x     = − = =       − 对 由 得基础解系 2 3 2 3 4, ( 4 ) 0, 1 0 0 1 , . 0 1   A E x   = = − =         = =             对 由 得基础解系 ,  2与 3恰好正交 , , . 所以 1  2  3两两正交

第五章相似矩阵与二次型(3)第三步，再将5,5,,5,单位化5.(i=1,2,3)得21501/ V21/ V22, n2 =|0 ,n3 =n =0[1/ V2L-1/ V2

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 3 (3) , , , 第三步，再将    单位化 1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 2 , , . 1 2 1 2 0                = = =             −       ( 1,2,3) i i i i    令 = = 得

第五章相似矩阵与二次型(4)以Pi,P2,P,为列向量得正交矩阵00P=(n1,n2,ns)= 1/~2 0 1/ /2L-1/ V2 0 1/V220则P-1AP = P'AP :

第五章 相似矩阵与二次型 ( 1 2 3 ) 0 1 0 , , 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 P        = =       − 1 200 . 0 4 0 0 0 4 P AP P AP −     = =        则 1 2 3 (4) , , 以p p p 为列向量得正交矩阵

第五章相似矩阵与二次型07例2已知实对称矩阵A=求正交矩阵，使P-1AP为对角矩阵解：（1)求A的全部特征值-1 1 -1- -11=(a-1)3(a+3)[A-aE|=-1 - 1-111-2故得A的特征值为,=1(3重根)，，=-3

第五章 相似矩阵与二次型 -1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 . A P AP   −   − =     −     − 例 已知实对称矩阵 求正交矩阵，使 为对角矩阵 解：(1)求A的全部特征值 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E      − − − − − = − − − − 3 = − + ( 1) ( 3)   1 2 故得A的特征值为  = = − 1(3 ) 3. 重根

第五章相似矩阵与二次型(2)求每个特征值对应的线性无关特征向量当2,=1时，解方程(A-E)=0.该方程组的系数矩阵-1-1-1000A-E=00000000-X +X, +X -X4 = 0它对应的方程为：

第五章 相似矩阵与二次型 (2)求每个特征值对应的线性无关特征向量 1 当 = − = 1 ( ) 0. 时，解方程 A E 该方程组的系数矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A E   − −   − − − =     − −     − − 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   − −   →         它对应的方程为： 1 2 3 4 − + + − = x x x x 0