《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第五章 二次型_第一节 实二次型及其标准形_5.1 实二次型及其标准形

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第五章二次型Ca第一节实二次型及其标准型Ca数二（和十）六2业

第一节 实二次型及其标准型 第五章 二次型

线性代数第一节实二次型及其标准型二次型及其短防示目录用配方法化二次型为标准型用正文查换化二次型为标准型高事教商出成社新时代大学数学东列教材

一 二 三 线性代数 第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 二次型及其矩阵表示 用配方法化二次型为标准型 用正交变换化二次型为标准型

线性代数第一节实二次型及其标准型一、二次型及其矩阵(x,x2.. x,)axx,ia2anxnaaa2nuanxnxianaxx,amx称为n元二次型首高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 一、二次型及其矩阵 称为 n 元二次型

线性代数第一节实二次型及其标准型f(xi,x2... x)axx,口品若a为实数，则称为实二次型若a为复数，则称为复二次型ana12aa2na22设X口口a21ACa9Di口口口口广二地an2aLanX口福n则 f(XI, .... x) =XTAX.A：二次型f(xi，……,xn)的矩阵首高教育出社11新时代大学数学系利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 若aij 为实数，则称为实二次型. 若aij 为复数，则称为复二次型. 则 f (x1 , ., xn ) = X TAX. A: 二次型 f (x1 , ., xn ) 的矩阵

线性代数第一节实二次型及其标准型例1 f(x,x2,x)=2x2-3x2+ 4x2 -2 x2 +3x2x303XOOXAX(xx,x)2福tF202A：f(x,X2，x）的矩阵则有f(x,2,x3)=XTBX3但BT+B,故B不是f(xi,x2，x)的矩阵首高教育出服社1新时代大学数学票利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 2 – 3x2 2 + 4x3 2 - 2 x1x2 + 3x2 x3 A: f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵 则有 f (x1 , x2 , x3 ) = XTBX 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵

线性代数第一节实二次型及其标准型二次型(xx.x）agxxo(AT= A)也记为F(X)=XTAX二次型f(X)的秩：A的秩0312401AOO在例1中，(x,x2，x3)的矩阵品312R(A) =3,故f(x,X2,)的秩为3.首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二次型 也记为 f (X) = X TAX. (AT = A) 二次型 f (X)的秩：A 的秩. 在例1 中， f (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵 R(A) = 3 , 故 f (x1 , x2 , x3 ) 的秩为 3

线性代数第一节实二次型及其标准型二、合同变换1.矩阵合同定义又对n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵C,使CTAC=B则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：（1）反身性：矩阵A与自身合同：(2）对称性：若A与B合同，则B与A合同：(3）传递性：若A与B合同，且B与C合同，则A与C合同首高事教育出服社1新时代大学数学东利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 二、合同变换 1. 矩阵合同 定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同. C TAC = B

线性代数第一节实二次型及其标准型A与B等价：PAQ=B，P,Q可逆，A与B相似：P-IAP=B，P可逆；请恩考：矩阵合同与等价，相似有何关系？2.合同变换nnf(xx...x)ayxxjxCuJc1y2Cinnx,c2iJic22J22nyn(1)口口口口口口口x,cmycn2y2cunyn(1)式称为从y，……,J,到xj,…x,的线性变换首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 2. 合同变换 (1)式称为从 y1 , ., yn到 x1 , ., xn 的线性变换

线性代数第一节实二次型及其标准型拉8Ciny1C12C1口2X20C22Can21XYC口0口重X口OyC口Ci2Cm则(1)式可记为(2)X=CY若C为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换若C为正交矩阵，则(2)式称为正交变换(3)当C可逆时，（2）式又可记为Y=C-1X首高事教育出服社1新时代大学数学票利教材

第一节 实二次型及其标准型 新时代大学数学系列教材 线性代数 令 则 (1) 式可记为 X = C Y (2) 若C 为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换， 若C 为正交矩阵，则(2)式称为正交变换. 当C 可逆时， (2)式又可记为 Y = C -1 X (3)