《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第三章 3-3初等矩阵

第三章矩阵的运算$ 3.3初等矩阵

第三章 矩阵的运算 §3.3 初等矩阵

第三章矩阵的运算初等矩阵的概念一、定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵1.对调两行或两列2.以数k≠0乘某行或某列3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去

第三章 矩阵的运算 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 一、初等矩阵的概念

第三章矩阵的运算1、对调两行对调E中第i,j两行，即(r,r)←第i行E(i,j)=←第i行

第三章 矩阵的运算 , ( ) 对 调 E i j r r 中第 两行，即 i j  1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 E i j         第 i 行  第 j 行 1、对调两行

第三章矩阵的运算2、以数k±0乘以某行以数k≠0乘单位矩阵的第i行(r ×k)←第i行E(i(k))=

第三章 矩阵的运算 2 0 、以数 k  乘以某行 0 ( ) i 以数k i r k   乘单位矩阵的第 行 1 1 ( ( )) 1 1 E i k k                         第 i 行

第三章矩阵的运算3、以数k≠0乘以某行再加到另一行上去以k乘E的第j行加到第i行上（r+kr）←第行E(j(k), i)=←第行

第三章 矩阵的运算 3 0 、以数k  乘以某行再加到另一行上去 ( ) i j 以 k E j i r kr 乘 的第 行加到第 行上  1 1 ( ( ) ) 1 1 k E j k i                        ，  第i行  第j行

第三章矩阵的运算1.初等矩阵都是可逆矩阵2.初等矩阵的逆矩阵仍然是同类形的初等矩阵E(i, j)-l = E(i, j);E(i(k)-° = E(i(二);KE(j(k),i)-1 = E(i(-k),i)

第三章 矩阵的运算 1 1 1 ( , ) ( , ); 1 ( ( )) ( ( )); ( ( ), ) ( ( ), ) . E i j E i j E i k E i k E j k i E j k i        2.初等矩阵的逆矩阵仍然是同类形的初等矩阵 1.初等矩阵都是可逆矩阵

第三章 矩阵的运算3.对矩阵进行初等行变换，可以用相应的初等矩阵左乘矩阵来表示4-310-302AB-320-2第二行第三行互换，即rr3P湘品0000

第三章 矩阵的运算 3.对矩阵进行初等行变换，可以用相应的初等矩 阵左乘矩阵来表示. 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1                1 3 1 4 2 1 2 1 1 0 0 3                2 3 第二行第三行互换,即r r  1 0 0 0 1 0 0 0 1           1 0 0 0 0 1 0 1 0          

第三章矩阵的运算BA-3-14-13-331060-10-3-11IC090000010000000

第三章 矩阵的运算 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1                1 3 1 4 0 3 1 1 2 1 2 1                 1 3 1 4 0 3 1 1 0 5 4 9                  1 0 0 0 1 0 0 0 1           1 0 0 1 1 0 0 0 1           1 0 0 0 1 0 0 0 1           1 0 0 0 1 0 2 0 1           P Q

第三章矩阵的运算初等矩阵在矩阵乘法中的应用二、7定理设A是一个mXn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵初等变换初等矩阵I初等逆变换初等逆矩阵

第三章 矩阵的运算 定理 设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等 行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等 矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的 右边乘以相应的n阶初等矩阵. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 二、初等矩阵在矩阵乘法中的应用

第三章矩阵的运算推论1 m×n矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶初等矩阵P,P,…,P,及n阶初等矩阵,,,,Q,使得A=PP...PBOQ...Q

第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , 1 , , l t l t m n A B m P P P n Q Q Q A P P P BQ Q Q    矩阵 的充分必要条件是存在 阶初等 矩阵 及 阶初等矩阵 使得 推论