《数学教学论》课程教学资源（书籍教材）高中数学教材_新课标_学生用书（不全）必修4

数学普通高中教科书必修第四册人民教育出版社课程教材研究所编著中学数学教材实验研究组O饭人民新育出版社B版·北京·

主编：高存明龙正武副主编：王殿军朱志勇本册主编：刘莉邵光砚其他编者：韩友发赵文莲周善富吴岐花郭永平李辉普通高中教科书数学（B版）必修第四册人民教育出版社课程教材研究所编著中学数学教材实验研究组出版人民春版社（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼邮编：100081）网址http://www.pep.com.cn重印XXX出版社发行XXX新华书店印副XXX印刷厂版次年月第版印次年月第次印刷开本890毫米×1240毫米1/16印张插页字数千字印数册书号ISBN978-7-107-价定元定价批号：xx号审图号：CS（xxxx）xxx×号版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jeyjfk.pep.com.en如发现印、装质量问惠，影响阅读，请与×X×联系调换。电话：XXX-XXXXXXXX

前言人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维……我国著名数学家华罗庚先生誉经指出：数学是一切科学的得力助手和工具，任何一门科学缺少了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态：更不能从已知数据推出未知的数据来因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑，互联网的普及、共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似“逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新间报道中比比皆是，正如《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课程标准”）所指出的：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养，高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定基础，为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写这套高中数学教材，在编写过程中，我们着重做了以下几项工作L.关注学生成长，体现时代特征教材在选取内容的背景素材时：力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的成长提供支撑，例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的“秘密”，用生活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，如何从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴媒体等报道中出现的“线性增长”“爆炸式增长”等名词教材中还提到了“网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护“大数据”“按揭贷款”“电子商务”“创业创新”等：我们相信，这些能引起大家的共鸣。此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等，在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示，例如，教材中精选了多道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解“失败乃成功之母”“三个莫皮匠，顶个诸葛亮”等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了《九章算术》在代数上的成就以及我国古代的统计工作，等等，2.吸收先进理念，改变呈现方式在教材编写程中，编者认真学习和讨论当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到“以学习者为中心”例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过“情境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用：利用“尝试与发现”栏目，鼓励大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结：通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；前言

选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读：以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性：等等3.遵循认知规律，力求温故知新数学学习必须循序渐进是一种共识。基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编写时特别考虑了这一因素事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等内容：另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果。例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指数幂、二次根式等后引入了分数指数暴，等等正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终达到理想的效果，这在本套教材试教过程中已得到印证4.揭示内容本质，重视直观理解数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径，揭示内容本质，培养大家对数学内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一首先，教材内容的安排突出主线，强调“通性通法”例如，多次强调了配方法的使用，自始至终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图像，等等，其次，尽量自然地引入新内容或新方法，例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等，最后，注重培养大家的数学学科核心素养，课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实。仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语言与符号语言之间的相互转化等总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语育表达世界”并不容易，为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学的数学教材，以帮助大家学习，本书是这套教材必修部分的第四册，星现了解三角形、复数、立体儿何初步的内容，通过本书的目录与每章的“本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善：编者2019年4月前言

目录第九章解三角形139.1正弦定理与余弦定理39.1.1正弦定理89.1.2余弦定理139.2正弦定理与余弦定理的应用9.3数学探究活动：得到不可达两点17之间的距离19本章小结23第十章复数2510.1复数及其几何意义2510.1.1复数的概念2910.1.2复数的几何意义3310.2复数的运算3310.2.1复数的加法与减法3610.2.2复数的乘法与除法4310.3复数的三角形式及其运算50本章小结CR心饭目录

53第十一章工立体几何初步55空间几何体11.15511.1.1空间几何体与斜二测画法6011.1.2构成空间几何体的基本元素6611.1.3多面体与棱柱7211.1.4棱锥与棱台7611.1.5旋转体8211.1.6祖原理与几何体的体积9111:2平面的基本事实与推论9611.3空间中的平行关系9611.3.1平行直线与异面直线10011.3.2直线与平面平行10311.3.3平面与平面平行11011.43空间中的垂直关系11011.4.1直线与平面垂直11.4.2平面与平面垂直116123本章小结本书拓展阅读目录秦九韶的“三斜求积术”/11利用复数产生分形图/40饭四元数简介/47我国古代数学中球的体积公式/86ii目录

数学在某方面类似于考古学你也许会找到某个东西的一角，并由此判断它是有趣的：于是你开始在别处挖掘，又找到了非常相似的另一角，你会想，是否有更深的联系？你继续挖掘，最终发现了地下的结构。当某些东西最终表明有意义时，你有一种发现的激动陶哲轩第九章解三角形

本章导语西我们在初中学过解直角三角形的有关知识：在直角国三角形中，除直角外共有5?个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形.不过，因为不是所有的福三角形都是直角三角形，所以如果仅仅会解直角三角形，那么解决一般三角形问题可能就会非常麻烦，例如，如图1所示，台风的破坏力非常大，实际生图1活中，了解与预测台风影响的时间具有重要的意义?如图2所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°C方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/hC的速度向西偏北30°方向移动：已知该台风影响的范围30°是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km如何求得城市A受到台风影响的时间？图2类似上述的问题，利用本章我们要学习的解一般三角形的知识就可以方便地解决，C在初中我们已经学过怎样得到不可达两点之间的距离，利用本章的内容可以解决更加复杂的问题CC

9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理情境与问题在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图9-1-1所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了ABC与ACB的大小，你能借助这3图9-1-1个量，求出AB的长吗？为了方便起见，本书中，将△ABC3个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c.在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，更一般地，可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解，尝试与发现1）如图9-1-2所示，已知ABC中，a=5，6-3，C，你能求出这个三角形的而积吗？（2）一般地，在△ABC中，如何根据a，b与C的值，Da求出这个三角形的面积？图9-1-2如图9-1-2所示，在△ABC中，过点A作BC边上的高AD，在Rt△ADC中，由正弦的定义可知AD=bsinC,因此所求三角形的面积为39.1正弦定理与余弦定理

15/311个SzabsinCX5X3Xsin3N22可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立：而当C为钝角时：如图9-1-3所示。仍设△ABC的BC边上的高为AD，则可知AD=bsin/ACD-bsin（元-C)-口71因此仍有S2absinC；当C为直角时，由图9-1-3sin90°=1可知上述面积公式仍成立一般地，若记AABC的面积为S，则SzabsinczacsinBbcsinA.2SsinBsinCsinA由此可知又因为sinA>osinB>，babcCasinC>o，因此可得bacsinAsinBsinC这就是正弦定理：在一个三角形中。各边的长和它所对角的正弦的比相等例1已知△ABC中，B=75°，C-60°，a=10，求c.解由已知可得A-180°-B-C-180°-75°-60°-45°casinA sinC，所以由正弦定理可知asinC10sin60°2CsinAsin45°利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题，而月，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边，因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了，事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA致习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形已知△ABC中，a=2，6=2/3，A=30°，求解这个三角形.①例2①即求三角形中未知的元素，下同4第九章解三角形