《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.2极限的概念与性质

第二节 极限的概念与性质01数列极限的概念02数列极限的性质03函数极限的概念04函数极限的性质

第二节 极限的概念与性质 01 数列极限的概念 02 数列极限的性质 03 函数极限的概念 04 函数极限的性质

极限概念的发展历程极限萌芽时期，除了古希腊的欧多克索斯还有阿基米德所使用的穷竭法，体现了极限的思想，实际上极限的萌芽在我国出现得更早最早是在《庄子-天下篇》中出现的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，而后魏普时期数学家刘徽使用割圆术求圆的面积，再后来南北朝时期祖冲之利用割圆术将圆周率元计算到了小数点后7位，这一成果是领先世界上干年的国欧盛庄子（约公元的369-公元品前286，名周，战国时来国我国者代著名的思想造人全步及分母家（世学家）、文学家。他曲中入共承并发展了老手的思起进家学派的重要人物丰庄子先活在5祖社全乐看根其央锐的时代冲陈付漆国更他不现实2不与统治阶级合作，据传类王警以千金租装为租拒地庄手对后人的影响主量《注手》一书

极限概念的发展历程 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾极限萌芽时期，除了古希腊的欧多克索斯还有阿基米德所使用的穷竭法，体现 了极限的思想，实际上极限的萌芽在我国出现得更早。 最早是在《庄子-天下篇》中出现的“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ， 而后魏晋时期数学家刘徽使用割圆术求圆的面积， 再后来南北朝时期祖冲之利用割圆术将圆周率π计算到了小数点后7位，这一成果 是领先世界上千年的

极限概念的发展历程但是在极限概念的发展时期，从英国数学家沃利斯正式提出极限的描述性定义，到牛顿、莱布尼茨的使用，到达朗贝尔、柯西等将极限概念完善，直至最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出极限概念的精确定义，却再也没有出现中国人的名字

极限概念的发展历程 ￾￾￾￾￾￾￾但是在极限概念的发展时期，从英国数学家沃利斯正式提出极限的描述 性定义，到牛顿、莱布尼茨的使用，到达朗贝尔、柯西等将极限概念完善， 直至最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出极限概念的精确定义，却再也没有 出现中国人的名字

数列极限的概念按照一定顺序排列的可列个数XXLXL称为数列.记为x其中x,称为数列的第n项或通项，n称为项x，的序号

一、数列极限的概念

观察以下数列：1111(1)4322(-1)n111342nn+(-1)n-1341(3)4.23n303540152025105不论变化趋势如何，随着项数n的无限增大，数列x无限接近一常数

观察以下数列：

数列极限的概念对于数列x，当n无限增大(n?￥)时，若x，无限趋近定义1.6于一个确定的常数α，则称a为n趋于无穷大时数列(x)的极限(或称数列收敛于α)，记作limx,=a或x,a(n??)nRY此时，也称数列x，的极限存在；否则，称数列x的极限不存在（或称数列是发散的）

一、数列极限的概念 定义1.6 5

、数列极限的概念(e-N定义）定义1.7设(x,}为一数列，α是常数，如果对"e>O，SNI N+，使对于满足n>N的一切x,/总有lx，-αKe成立，则称a为数列(x的极限(或称数列收敛于α)记作limx, =a或x, ? a(n ? ￥).数学符号“””表示“任意”“，S”表示“存在”，注

一、数列极限的概念 6 定义1.7 注

一、数列极限的概念注(1）理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大口什么是无限趋近(2)不是所有的无穷数列都有极限，例如，数列(-1)"的极限不存在(3）研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限(4）“无限趋近于α”是指数列x后面的任意项与α的距离无限接近零

一、数列极限的概念 7 注

第二节极限的概念与性质01数列极限的概念02数列极限的性质03函数极限的概念04函数极限的性质

01 数列极限的概念 数列极限的性质 03 函数极限的概念 04 函数极限的性质 02 第二节 极限的概 念与性质

数列极限的性质（极限唯一性）定理1.2收敛数列的极限是唯一的即若数列(x收敛，且limx，=α和limx，=b，则a=b.（有界性）定理1.3收敛数列是有界的.即若数列x！收敛，则存在常数M>0，使xM(对"niN)

二、 数列极限的性质 10 定理1.2 定理1.3