《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.5函数的连续性

1.5函数的连续性01函数连续的定义02函数的间断点03连续函数的性质04闭区间上连续函数的性质

1.5函数的连续性 01 函数连续的定义 02 函数的间断点 03 连续函数的性质 04 闭区间上连续函数的性质

>个引入小麦从种子萌发、出苗、生根、长叶、拔节、孕穗抽穗、开花、结实，经过一系列生长发育过程，到产生新的种子，叫小麦的一生。为了便于栽培管理，可把小麦的一生划分为10个生育时期，即播种、出苗、分、越冬、返青、拔节、孕穗、抽穗、开花、成熟期。7K种子三叶期分菜拔节抽穗成熟萌发出苗11月下旬3月中们4月中下旬5月底6月初秋分霜降立夏芒种9月23日10月23日5月5日6月5日

引入 2 秋分 9月23日 霜降 10月23日 立夏 5月5日 芒种￾￾ 6月5日

0OA7引入20时23时02时08时11时14时17时05时16℃16℃15℃15℃9℃9℃8℃8℃优优优优优优良良北风东北风东北风东北风东风西北风西风西北风4级微风微风微风微风微风微风微风3

引入 3

OOA函数连续的定义设变量u从它的一个初值u，变到终值uz，终值与初值的定义1.17差uz-u,称为变量u的增量，记为Du，即Du=u2-u.设函数y=f(x)在点x.的某邻域内有定义，如果当定义1.18自变量x有增量Dx时，函数有相应的增量DV，若y=f(x)AylimDy=0，则称函数y=f(x)在点x.处连续，ArOxRO0x.+Arxx.x为f(x)的连续点

一、 函数连续的定义 4 定义1.17 定义1.18

OOA定义1.19（1）设函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，老lim f(x)= f(xo) ,x?Xo则称函数y=f(x)在点x.处连续（2）设函数y=f（x）在点x。的某邻域内有定义，如果对于任意正数e，总存在正数d，使当x满足不等式x-x<d时，有f(x)- f(xo)|<e成立，则称函数y=f(x）在点x。处连续

5 定义1.19

OAA从上述定义可以看出，函数y=（x）在点x。处连续必须满足三个条件：01E（在点日有定义；y=f(x)在点x处极限存在，即limf(x)=A（常数）;02KRy=f(x)在点x。处的极限值等于函数值，即A=limf(x).03XRXo

6 01 ᵰ= ᵰ(ᵰ)在点ᵰ0 有定义； 02 03

A1xsin-x±0在x=0点的连续性讨论函数f(x）=七0,x=010解lim f(x)= C f(O),=lim xsin-x-0xx-0故函数f(x)在x=0点连续

7 例 1 解 = 0

OA注(1)f(x)在点x = a处右连续是指满足lim f (x) =f(a).x-a(2)f(x)在点x=b处左连续是指满足limf (x)=f(b)8

8 注

0O70<x<1x,1,讨论函数f(x）=x=1，在x=1点的连续性(2x,1<x<2o解lim f(x) = lim x=1 =(l)，f(x)在x=1点左连续x→1lim f(x）= lim 2x =2 ≠(1）)，f(x)在x=1点不右连续x→1+x-→1故函数f(x)在x=1点不连续S

9 例 2 解 = 1 = 2 = ᵰ(1) ， ≠ ᵰ(1)

?函数在一点连续的充要条件函数f(x）在点x.处连续的充分必要条件是定理1.21函数f(x）在点x.处既左连续又右连续

函数在一点连续的充要条件 10 定理1.21