《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.6定积分的几何应用

5.6定积分的几何应用01平面图形的面积空间立体体积02平面曲线的弧长03

1 01 平面图形的面积 02 空间立体体积 03 平面曲线的弧长 5.6 定积分的几何应用

课前导读定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了巨大的魅力．也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善．因此，在学习的过程中，我们门不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法一一微元法，不断积累和提高数学的应用能力

2 课￾￾￾前￾￾￾导￾￾￾读

课前导读求曲边梯形面积经历了分割、近似、求和、取极限四步，导出了定积分的()7x定义，即若将积分元素)i xd xKdxba的极限对应于，积分和从到定义可简化为两步求出如x1:第一步（相当于写出的极限）：（相当于求第二步求定积分从而可以利用定积分的有关运算解决一些几何和物理的问题

课￾￾￾前￾￾￾导￾￾￾读 3

一、平面图形的面积1、直角坐标系一般方程根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积0aXx（1）由曲线，直线及轴所围成的x0若则其面积为：UX若-2则其面积为：山ybax0V(x)SSy(x)0中ba

4 一、平面图形的面积 y O x S y=f(x) a b S y O x y=f(x) a b

、平面图形的面积uyl?若在积分区间内既有取正值部分，也有取负值的部分，y=f(x)Si6d则其面积fx)df xxS3+xCia0/C2bS2uAUXx综上所述，由曲线，直线及积为3我们利用定积分求面积的公式来验证一个已知的结果

5 S1 S2 S3 a b y y=f(x) c1 c2 x O 一、平面图形的面积

一、平面图形的面积的面积例 1求椭圆一得y解由aVa2-rbSi0x0-bV=ava2-r2其中,若取正号，即表示上半椭圆的方程。若y

6 S1 y O x y= a 2 -x2 b b a a b a y= b a a 2 -x 2 一、平面图形的面积

一平面图形的面积的面积例1求椭圆.1又设椭圆的面积为，它在第一象限的面积为称，因而其面积为-，从而有已知也可表示成参数方程椭圆2

7 一、平面图形的面积

平面图形的面积的面积例1求椭圆一因此也可以有abuULs特别地，若则得到圆的面积

8 一、平面图形的面积

平面图形的面积Xv)gx（2）由曲线及直丝1yxaxb)所围成的平面图形的面积)gtS设曲线位于曲线其面积为yg(s)aXOb

9 a b y O x S y=g(x) y=f(x) 一、平面图形的面积

平面图形的面积LRy1yA（3）由曲线及直线yayb所国成的平面图形的面积R)yx=0(y)S位于曲线设曲线x=y(y)侧，则其面积为aox

10 y O x S b a ( y) ( y) x=φ x=ψ 一、平面图形的面积