《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第四章 4-2齐次线性方程组

第四章线性方程组第二节齐次线性方程组

第四章 线性方程组 第二节 齐次线性方程组

第四章线性方程组一、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组ax +ax2 +..+ainn = 0a21 + a22X2 + ... + a2nxn = 0(1).+amx=0am1Xi+am2X2+anlXa12X2a21aAx = 0(2)1记 A=,x=a0m2mlmn

第四章 线性方程组 设有齐次线性方程组                    0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x                           Ax  0 (2)

第四章线性方程组XX2若xi,X2,…,x,为方程(1)的解，则x=X称为方程(2)的解向量，也就是方程(1)的解向量

第四章 线性方程组 1 2 1 2 , , , (1) (2) (1) n n x x x x x x x              若 为方程 的解，则 称为方程 的解向量，也就是方程 的解向量

第四章线性方程组性质1两个解向量的和仍然是解向量，即设，5，是齐次线性方程组的解向量则5+5,也是齐次线性方程组的解向量证明：只需证明+，满足齐次线性方程组即可: A5i = 0, A52 = 0: A(E +5)= AS + A52 = 0故x=+5,也是Ax=0的解

第四章 线性方程组 1 2 1 2 , 1      两个解向量的和仍然是解向量， 即设 是齐次线性方程组的解向量， 则 也是齐次线性方程 性质 组的解向量. 证明：  A 1   2   A 1  A 2  0  A 1  0, A 2  0 故 x 也是Ax 0的解.   1   2    只需证明 1 2 + 满足齐次线性方程组即可

第四章线性方程组性质2一个解向量的倍数仍是解向量即设是齐次线性方程组的解向量，孔是任意数则入也是齐次线性方程组的解向量证明 ：A(5)=A(5)=20=0.：入也是齐次线性方程组的解向量说明：设引,52……，n-,是齐次线性方程组的解向量，a,22..an-是任意数，则a5i +252 +...+an-r5,Sn-仍是齐次线性方程组的解向量

第四章 线性方程组 2     一个解向量的倍数仍是解向量， 即设 是齐次线性方程组的解向量， 是任意数， 则 也是齐次线性方程组的 性质 解向量. 证明 A A     1 1       0 0.  也是齐次线性方程组的解向量 说明： 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , n r n r n r n r                     设 是齐次线性方程组的解向量， 是任意数， 则 仍是齐次线性方程组的解向量

第四章线性方程组基础解系及其求法二、齐次方程组的全部解向量构成个一个向量空间称为齐次方程组的解空间.它是R"的一个子空间下面我们来求解空间的一个极大线性无关组设齐次线性方程组系数矩阵A的秩为r.不妨假设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章 线性方程组 二、基础解系及其求法 齐次方程组的全部解向量构成个一个向量空间, 称为齐次方程组的解空间. 它是R n的一个子空间. 下面我们来求解空间的一个极大线性无关组。 设齐次线性方程组系数矩阵A的秩为r,不妨假 设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章线性方程组b一1r+11.11bbrr+rn001与I对应的线性方程组为xLn(3)hhXr.r+l1r.n

第四章 线性方程组 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I                              1 1, 1 1 1, , 1 1 , (3) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                  与I对应的线性方程组为

第四章线性方程组我们把x+1.…x,称为自由未知量.令xr+1.分别取下列n-r组数001+1001Xr+21O

第四章 线性方程组 我们把xr+1,.,xn称为自由未知量. 令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 r r n x x x                

第四章线性方程组代入（3）中依次可得xh+r+.r+2+从而得到齐次线性方程组的n-r个解-b1,r+2-brt-h-b,r+2-b.r+r,n5=00

第四章 线性方程组 1 1, 1 , 1 r r r r x b x b                           ， 1, 2 , 2 r r r b b               ， 1, , n r n b b             ， 代入(3)中依次可得 . 从而得到齐次线性方程组的n-r个解 1, 1 , 1 1 1 0 0 r r r b b                               ， 1, 2 , 2 2 0 1 0 r r r b b                               ， 1, , 0 0 1 n r n n r b b                              ，

第四章线性方程组下面证明S1,52.…,5n-,是解空间的一个基Xr+1Xr+2首先由于所取的n一r个n一r维向量Xn000线性无关

第四章 线性方程组 1 2 , , , n r    下面证明   是解空间的一个基 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x n r n r x                                                         首先由于 所取的 个 维向量 ， ， ， 线性无关