《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.4函数的单调性、极值和最值

3.4函数的单调性、极值和最值01函数的单调性02函数的极值03函数的最值

函数的极值 函数的单调性 03 函数的最值 02 01 3.4 函数的单调性、极值和最值

OOA0函数的单调性单调性是函数的重要性态之一，有助于研究函数的极值、证明不等式、描绘函数图形等常用的证明单调性的方法是作差或作商，下面讨论如何利用导数来判断函数的单调性。LByf(x)yf(x)B0xb0oabXf(x)0f(x)o

一、函数的单调性 2 单调性是函数的重要性态之一,有助于研究函数的极值、证明不 等式、描绘函数图形等. 常用的证明单调性的方法是作差或作商,下面讨论如何利用导数来判 断函数的单调性

O#71.函数的单调性的判定设函数f(x)在区间/上可导，对一切xi「有定理3.8()fdx)>0，则函数f(x)在I上单调增加;(2)fdx）<0，则函数f(x）在1上单调减少更一般性的结论设函数f(x)在区间I内可导若fx)30或fdx）f0（等号仅在有限个点处成立）则函数f(x）在I内单调增加或单调减少2

1. 函数的单调性的判定 3 定理3.8

VAye1.又D:(,)解O在(,0)内, J 0,在(0,)内, J0,注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性

4 注:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间 上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区 间上的单调性． 例 1 解

OA0函数的单调性确定函数f(x）x2的单调区间2解O(x 0) D : (,). f (x)33当x0时,导数不存在当x0时，f（x）0，在（，01上单调减少；当0x时,f（x)0,在[0,)上单调增加；单调区间为（,0],[0,)5

一、函数的单调性 5 例 2 解 单调区间为

>2.求函数的单调性的步骤(1)确定f(x）)的定义域；(2)求fdx），并求出f(x)单调区间所有可能的分界点（包括fdx）=0导数不存在的点口f（x）的间断点），并根据分界点把定义域分成相应的区间；3)判断一阶导数fdx)在各区间内的符号，从而判断函数在各区间中的单调性

6 2.求函数的单调性的步骤

COA7函数的单调性确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间.例解f (x) 6x2 18x 12 6(x1)(x2)01J令f(x)0,得x1,x22,1)1(1, 2)2x100f (x)021xf(x)2故f(x)的单调增区间为（,1)，(2，□);f(x)的单调减区间为[1,2]

一、函数的单调性 7 例 3 的单调区间. 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 确定函数 解

OA0例设函数f(x)在[0,+￥)上二阶可导，且f战x)>0,f(0)=0试证明：函数F(x)=()在[0,)上单调增加xFdx) = fdx)- f(x)0证,令g(x)=xfdx)- f(x),则gdx)=xfdx),x2由题意可知,当x>0 时gx)>0 ,故g(x)>g(0)=-f(0)=0,所以Fdx)=x)= I()_ g(a)>0(x>0),2X故函数F(x)在[0.+)上单调增加8

8 例 4 证

OOA3.函数的单调性的应用（1）证明不等式证明：当x>1时，2/>3-1例x证 令 f(x)=2 /反-(3--),则X11f'(x)/xx当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在[1,+o]上单调增加从而x > 1时,f(x)> f(1) = 0

3. 函数的单调性的应用 9 例 5 （1）证明不等式

OO03.函数的单调性的应用（2）证明方程根的个数证明方程xs-5x+1=0仅有一个小于1的正实根90证Q f(0)=1>0,f(1)=-3<0,f(x)在[0,1]上连续1由零点定理可知f(x)在(0.1)内存在零点f(x)=5(x4-1)<0, xE(0,1),故f(x)在[0,1]上单调增加故f(x)在(0,1)内仅有一根C

3. 函数的单调性的应用 10 例 6 （2）证明方程根的个数 证