《高等数学》课程教学资源（matlab及案例）9河道截面积估计与数据插值

9实验河道截面积估计与数据插值

实验 9 河道截面积估计与数据插值

实验问题：一条宽为100米的河道如下图所示1000 XX2 X3为了计算河流量，工程师需要估算河道的截面积，为此从河的一端开始每隔5米测量出河床的深度，测量数据如下表：x8x 9x3x 4x 5x 7x 10x 2x 6x 1坐标4.234.223.012.961.952.553.125.126.415.88深度x 15x 17x 18x 19x 20x 11x 12x 13x 14x 16坐标03.023.634.122.083.912.862.851.553.46深度试根据以上数据，估计河道的截面积与河床曲线的长度.利用已知的数据点来获取一条穿过这些点的河床函数曲线.这是实际问题中经常遇到的数据处理问题之一，在数学上可以用数据插值的方法来解决

实验问题：一条宽为100米的河道如下图所示 为了计算河流量，工程师需要估算河道的截面积， 为此从河的一端开始每隔5米测量出河床的深度，测 量数据如下表: 坐标 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 深度 3.01 2.96 1.95 2.55 3.12 4.23 5.12 6.41 5.88 4.22 坐标 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19 x 20 深度 3.91 2.86 2.85 1.55 3.02 3.63 4.12 3.46 2.08 0 试根据以上数据，估计河道的截面积与河床曲线的长 度. 利用已知的数据点来获取一条穿过这些点的河床函数曲线.这是实际问题 中经常遇到的数据处理问题之一，在数学上可以用数据插值的方法来解决

实验目的：了解数据插值的基本方法，学会使用MATLAB软件进行多项式插值、分段线性插值、样条插值，并利用插值方法获取河床近似曲线，解决实验问题。实际问题使用工具和方法（1）根据统计数据或实验数据：数据拟合建立函数关系，或进行预测（2）填充缺失的数据，或在一组已知数据点的范围内添加数据插值新数据点，对现有数据进行平滑处理以及进行预测等

实际问题 （1）根据统计数据或实验数据， 建立函数关系，或进行预测 （2）填充缺失的数据，或在一 组已知数据点的范围内添加 新数据点，对现有数据进行 平滑处理以及进行预测等。 使用工具和方法 数据拟合 数据插值 实验目的：了解数据插值的基本方法，学会使用 MATLAB软件进行多项式插值、分段线性插值、 样条插值，并利用插值方法获取河床近似曲线，解 决实验问题

1、插值问题假设n个数据点(xi,J),(x2,2),L,(x,J,)点的观测值都是准确的，求一个函数P(x)使P(x,) = yjj=1,2,L ,n插值条件y =P(x)插值函数(xk,yh)求插值函数的方法称为插值法插值节点如何构造P(x)?xX....Xk.....XoxXn-1若选取多项式函数作为插值函数，称为多项式插值

1、插值问题 插值条件 插值函数 插值 节点 . . 求插值函数的方 法称为插值法. 如何构造P(x)? 若选取多项式函数作为插值函数，称为多项式插值

2、多项式插值对于已知的n个数据点(x,J),(x2,2),L,(x,,Jn),可以唯一确定n-1次多项式p(x)=a。+a,x+L +an-ix"-1,使得P(x,)= ;,j=1,L ,n.1-1th-1证明：设p(x)=a+ax+L +anLx,X/1-iao+ax +L +an-ix'= y1n-1L-x,X2Q|A/:n-1即;ao +ax,+L +an?= 2MMMMt心1LXni1iaa++L+ant"y.由克莱姆法则知方程组有唯一解。即p(x)唯一确定。这种方法称为Lagrange多项式插值法，所得的多项式称为n-1次插值多项式

2、多项式插值 由克莱姆法则知方程组有唯一解。 这种方法称为Lagrange多项式插值法，所得的多项式 称为n-1次插值多项式。 证明：

1I a +ax +L +an-x!=élyiuLXx,éa,i-éy,uyn-1e1n-1ua,+a,x,+L +an-x"=y2LX21-e Mié Mi=MMuemMia,ty.tetni!1t"-ia.+a,x,+L +a..VLXn11为了后面求解使用方便，我们据此编写一个Lagrange插值函数命令程序以方便调用function p=lagrange(x,y) %输入数据点生标向量x,y输出插值多项式系数pL=length(x);A=ones(L);β p=[an-1,an-2,L ,ar,a]for j=2:LA(:,j)=A(:,j-1).*x';计算插值多项式在x0处的值：endy0=polyval(p,x0)X-inv(A)*y';for i-1:Lp(i)=X(L-i+1);end

function p=lagrange(x,y) %输入数据点坐标向量x,y输出插值多项式系数p L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end 为了后面求解使用方便，我们据此编写一个Lagrange插值函 数命令程序以方便调用. 计算插值多项式在x0处的值： y0=polyval(p,x0)

例1已知观测数据如下，求其插值多项式曲线00.20.30.40.50.60.70.80.910.1X-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2yclc:clf:clear:x=0:0. 1:1 ;y=[-. 447 1. 978 3. 28 6. 16 7. 08 7. 34 7. 66 9. 56 9. 48 9. 3 1plot(x,y,'k.','markersize,35)米蛋14axis([0 1 -2 16)12grid;龙格（Runge)现象10hold on8p=lagrange(x, y) ;6t=0:0. 01:1;u=polyval(p, t) ;plot(t, u,'r*')与数据点有明显的偏离。0随着分点的增加，大的起伏波动越明显插值问题中典型的“龙格（Runge）现象00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

例1 已知观测数据如下，求其插值多项式曲线. x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2 clc;clf;clear; x=0:0.1:1; y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]; plot(x,y,'k.','markersize',35) axis([0 1 -2 16]) grid; hold on p=lagrange(x,y); t=0:0.01:1; u=polyval(p,t); plot(t,u,'r*') 与数据点有明显的偏离。 随着分点的增加，大的起伏波动越明显， -插值问题中典型的“龙格(Runge)现象 ”￾ 龙格(Runge)现象

1例2对函数在[-5,5]上以1为步长进行划分11 + 20x作Lagrange插值，观察函数曲线与插值曲线的变化clc;clf;clear;x=-5:0. 1:5;龙格现象示意图y=1./(1+20*x .*x) :plot(x,y,'k--','linewidth2)axis([-5 5 -1.2 6])grid;hold onx=-5:5;y=1./(1+20*x .*x) ;p=lagrange(x, y) ;t=-5:0.1:5;高次多项式插值容易发生“龙格现象”，f=polyval(p, t) ;如何避免？plot(t,f,'r-')方法：采用分段低次多项式插值的方法

例2 对函数 ，在[-5,5]上以1为步长进行划分 作Lagrange插值，观察函数曲线与插值曲线的变化. clc;clf;clear; x=-5:0.1:5; y=1./(1+20*x .*x); plot(x,y,'k-','linewidth',2) axis([-5 5 -1.2 6]) grid; hold on x=-5:5; y=1./(1+20*x .*x); p=lagrange(x,y); t=-5:0.1:5; f=polyval(p,t); plot(t,f,'r-') 龙格现象示意图 高次多项式插值容易发生“龙格现象” ， 如何避免？ 方法：采用分段低次多项式插值的方法

3、分段线性插值(xk+1, fk+l)(k.k）Xx, =bX.....Xa=x.n-分段线性插值的MATLAB命令：y0=interp1(x,y,x0)其中x,y为已知数据点，yo为求得的插值函数在x0处的值

3、分段线性插值 . . 分段线性插值的MATLAB命令： y0=interp1(x,y,x0) 其中x,y为已知数据点，y0为求得的插值函数在x0处的值

校正值校正值刻度值刻度值例3已知某转子流量计在100~1000mL/min流量600100105.3605.8范围内，刻度值与校正200700207.2707.4值的关系如表所示.试300800308.1806.7用线性插值法计算流量计的刻度值为785时，实400900406.9908.0际流量为多少？5001000507.5107.9解：Matlab计算程序如下：X=[100,200, 300,400, 500, 600, 700,800, 900, 1000] ;Y=[105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,605.8,707.4,806.7, 908. 0, 107. 9] ;Xk=780;这里：X和Y分别表示样本点的刻度值和校正值：Xk和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值。Yk=interpl(X, Y, Xk)执行结果：Yk =786.8400

例３已知某转子流量计在 100～1000mL/min流量 范围内,刻度值与校正 值的关系如表所示.试 用线性插值法计算流量 计的刻度值为785时,实 际流量为多少？ 刻度值 校正值 刻度值 校正值 100 105.3 600 605.8 200 207.2 700 707.4 300 308.1 800 806.7 400 406.9 900 908.0 500 507.5 1000 107.9 解：Matlab计算程序如下： X=[100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000]; Y=[105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,605.8,707.4,806.7,9 08.0,107.9]; Xk=780; Yk=interp1(X,Y,Xk) 执行结果：Yk = 786.8400 这里：X和Y分别表示样本点的刻度值和校正值； ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾Xk和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值