《高等数学》课程教学资源（知识拓展，数学竞赛8讲）第04讲 一元函数的导数与微分及其应用

课前练习：(1）写出f（α）=ecos的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式;(2）写出f（α）=（1+α）的二阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式

课前练习解答课前练习：(1）写出f（α）=ecos"的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式;(2）写出f（α）=（1＋α)的二阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式间接法 e*,sinx,cosx,In(1 + x),(1 +x)a1-X+(")- ()+ r+0++0(x")直接法f(x)=k!2!n!k=0

课前练习解答 间接法 直接法

课前练习解答课前练习：ecos的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式(1)写出fT,cosx= 1-+26t20(x)TT小23tte21XKoa1+x+234234xact.3(3)0(3)0ecos.x2Xe2S+20ew=e-3x2xel+0(x31ke:e2

课前练习解答

课前练习解答课前练习：ecos的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式(1)写出f(c) cosx = 1. + 0(0(cosx - 1)+ (cosx - )+cos.xcos.X26CX0enx+xel+e-二+0e20直接法 f(0)= e, fe(x)= sinx ×( ecosx)p fe(0)= 0f(x)= ecosx (sin*x - cosx)p f e(0)=-- eF(x)= sinxecosx cosx + cos(2x)+ 19p F e(0)= 02fa(o)2+m0)3+060)e-9x2+0()f(x) = f (0)+ fs(0)x +2!3!

课前练习解答 直接法

课前练习解答课前练习：(2) 写出f 1十的二阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式42+318(3I n(1+x)7Xx.2123数学竞赛2323e.txe0-全国大学生数学竞赛（初赛非全国大学生数学egyei数学类)200eia竞费商鹏析Kxx巨期244期1-Ho+o(x0(x-订用2323规2009年第1届第1题（1）.t22U【我间2009年第1届第1题（2）xxD我2009年第1届第二路e:e238t第十届全国初赛非数学专业真题解析lle第4题函数极限计算的一般思路与主要方法e第三届全国大学生数学竞赛初赛真题解析在线课程?函数极限的一般思路与等价无穷小方法（15分钟）第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析·增减项构造等价无穷小结构求极限(10分钟）?借助洛必达法则求函数的极限（25分钟）洛必达法则求极限（9分钟）?应用等价无穷小求极限及其使用原则（19分钟）·函数极限计算的直接泰勒公式法（15分钟?用泰勒公式计算函数极限思路探索与实例解析(15分钟）·函数极限计算的间接泰勒公式法（21分钟）

课前练习解答 第三届全国大学生数学竞赛初赛真题解析在线课程 第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析 ●借助洛必达法则求函数的极限(25分钟) ●应用等价无穷小求极限及其使用原则(19分钟) ●用泰勒公式计算函数极限思路探索与实例解析(15分钟) 第十届全国初赛非数学专业真题解析 第4题 函数极限计算的一般思路与主要方法 ●函数极限的一般思路与等价无穷小方法(15分钟) ●增减项构造等价无穷小结构求极限(10分钟) ●洛必达法则求极限(9分钟) ●函数极限计算的直接泰勒公式法(15分钟) ●函数极限计算的间接泰勒公式法(21分钟)

第4讲导数与微分及其应用李海玲山东理工大学

第4讲 导数与微分及其应用 山东理工大学 李海玲

导数定义适用的问题计算一元函数导数的注意事项二三高阶导数的求法四五六微分中值定理与中值命题函数的单调性、极值与最值图形的凹凸性与分析作图法

l 一、导数定义适用的问题 l 二、计算一元函数导数的注意事项 l 三、高阶导数的求法 l 四、微分中值定理与中值命题 l 五、函数的单调性、极值与最值 l 六、图形的凹凸性与分析作图法

导数的定义式适用问题1、导数的定义式适用问题f(x, +D)- f()f(x.+h)- f)DylimJlimlimfx=hDxHRODXRODxRoDxF(x + Dx)- f(x) = f4x)lim左导数DxDxR 0f(x, + Dx)- f(x)= fdxo)lim右导数DxDxRo+定理[函数f(x)在xo处可导的充要条件是它在xo的左、右导数存在且相等

一、导数的定义式适用问题 1、导数的定义式适用问题 左导数 右导数

一、导数的定义式适用问题通常用到导数的定义来求解的问题：抽象函数可导性与可微性的判定与计算分段函数分界点可导性的判定与导数的计算绝对值函数的可导性的讨论当已知中没有可导条件，需要用到导数结论复杂函数求一点处的导数值计算极限初等函数在定义区间内连续、可导函数一点处的连续性与可导性与该点邻域内的连续性与可导性无关

一、导数的定义式适用问题 通常用到导数的定义来求解的问题： l 抽象函数可导性与可微性的判定与计算 l 分段函数分界点可导性的判定与导数的计算 l 绝对值函数的可导性的讨论 l 当已知中没有可导条件，需要用到导数结论 l 复杂函数求一点处的导数值 l 计算极限 l 初等函数在定义区间内连续、可导 l 函数一点处的连续性与可导性与该点邻域内的连续性与可导性无关

导数的定义式适用问题例 1 设f(α)的定义域为(一80,+)，又对任意的α,y E(一80,+)有f(α +y)= f(α)e + f(y)e"证明：若f(α)在α=0处可导，则f(α)在(一oo,十)上可导f(a)e-" + f(Aa)e" -f(α)f(α +△α) -f(α)limlim【提示】：AaAaAa-→0A2-0eAa-1f(△a)f(0 + △α) - f(0)= f(a)+e° limlim+er= f(α) limAaAaAaAa-0Aa0AT-0= f(α) +e"f'(o) = f'(c)例2: 设f(α) = α(α-1)(α - 2) (c 99), 求f'(0)[提示): f(0) = lim f(a) - f(0)-02→0= lim(α - 1)(α - 2).. (α - 99) = -99!F→0

一、导数的定义式适用问题