《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.3定积分的换元法和分部积分法

第三节定积分的换元法和分部积分法、定积分的换元法二、分部积分法三、小结

第三节 定积分的换元法 和分部积分法 • 一、定积分的换元法 • 二、分部积分法 • 三、小结

上一节的牛一莱公式将定积分的计算归结为求不定积分，而不定积分可用换元法和分部积分法求积，这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了如果将换元法和分部积分法写成定积分的形式常可使得计算更简单

上一节的牛—莱公式将定积分的计算 的形式, 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了. 归结为求不定积分, 如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单

一、定积分的换元法定理假设函数f(x)在[a,b]上连续；函数x=β(t)满足条件：(1) p(α) =a, β(β) =b,(2) β(t)在[α,β](或[β,α)上具有连续导数且其值域R。=[a,b],B则有[ f(x)dx =flp(t)lp'(t)dt

定理 一、定积分的换元法 ( ) [ , ] ( ) (1) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ]( [ , ]) [ , ], ( ) [ ( )] ( ) b a f x a b x t a b t R a b f x dx f t t dt                = = = = =    假设函数 在 上连续；函数 满足条件： ， ， 在 或 上具有连续导数， 且其值域 则有

证：设F(x)是f(x)的一个原函数" f(x)dx = F(b) - F(a),: Φ(t) = F[p(t)ldFdx@'(t) =x = f(x)p(t) = f[(t)lg'(t),: d(t)是f[p(t)]p'(t)的一个原函数6f[p(t)lp'(t)dt = Φ(β)-@(α)

证： f (x)dx F(b) F(a), b a = −    ( ) [ ( )], t F t = ( ) dF dx t dx dt  =  = f (x)(t) = f t t [ ( )] ( ),   f t t dt [ ( )] ( ) ( ) ( ),          = −  设F x f x ( ) ( ) 是 的一个原函数，    ( ) [ ( )] ( ) t f t t 是  的一个原函数

p(α)=a、(β)=bΦ(β)-@(α) = F[β(β)]-F[β(α))= F(b)- F(a),[~f(x)dx = F(b)- F(a) = @(β)-Φ(α)J' flp(t)lo'(t)dt.注意：当α>β时，公式仍然成立

    ( ) ( ) − = − F F [ ( )] [ ( )]     = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = −  = −     ( ) ( ) f [ (t)] (t)dt.  =      注意：当   时，公式仍然成立.     ( ) ( ) = = a b

应用换元公式时应注意：积分限(1)用x=@(t)把变量x换成新变量t,也相应的改变，（换元必换限）(2)求出f[p(t)lp'(t)的一个原函数Φ(t)后，不必像计算不定积分那样把Φ(t)还原成变量x的函数，而是直接把新变量的上下限分别代入Φ(t)然后相减就行了

应用换元公式时应注意: (1) ( ) 用x t x t =  把变量 换成新变量 ，积分限 也相应的改变,(换元必换限) ; (2) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) . f t t t t x t t      求出  的一个原函数 后，不 必像计算不定积分那样把 还原成变量 的 函数，而是直接把新变量 的上下限分别代入 然后相减就行了

例1 计算{Va?-x"dx1解1 令 x=asintdx = acostdt元x=0=t=0x=a=t=2Va? - x'dx = a' cos" tdt0元aa(1 + cos 2t)dt =21

令 2 2 0 a  − a x dx  2 2 2 0 cos π = a tdt  2 2 0 (1 cos 2 ) 2 π a = + t dt  2 4 πa = x a t = sin dx a tdt = cos x t =  = 0 0 2 π x a t =  = 解1 计算 2 2 0 a a x dx − 例  1

y=Va?-x?解2由定积分的几何意义x=a[Va?-x'dx02元a等于圆周的第一象限部分的面积=

解2 由定积分的几何意义 2 2 0 a a x dx −  等于圆周的第一象限部分的面积 2 4 πa = x a = 2 2 y a x = − o

cos' x sin xdx.例2计算解 令 t=cosx,dt = -sin xdx.元x=0=t=1=t = 0,x=2巫25cos x sin xdxJodt

例2 计算 2 5 0 cos sin . x xdx  解 令 t = cos x, 2  x =  t = 0, x = 0 t = 1,   2 0 5 cos x sin xdx  = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx

例3 计算解 : f(x)= /sin' x-sin' x =|cosx(sinx) J"/sin' x - sin' xdx = I" lcos xl(sin x)i dx- Je cos x(sin x) dx - Je cos x(sin x)i dxJe (sinx)d sinx -J (sinx)dsinx2(sinx), -(sinx)[一号元

例3 计算 解 f x x x 3 5  ( ) = sin − sin ( ) 3 = cos sin x x 2    − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) 3 2 0 cos sin x x dx  =  ( )   = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( )   −  2 2 3 cos x sin x dx ( )   = 2 0 2 3 sin x d sin x ( )   −  2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2  = x ( )   − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =