《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）课本的扫描版_第四章

第四章特征值与特征向量工程技术中的振动问题与稳定性问题，数学中矩阵的对角化与微分方程组的求解问题，还有其他一些实际问题，都可以归结为求矩阵的特征值与特征向量本章先介绍矩阵的特征值与特征向量的概念，再引入相似矩阵的概念，并讨论矩阵的相似对角化，最后介绍几维向量空间的正交性及实对称矩阵的相似对角化。4.0引例R第三章提到的高光谱图像由搭载在不同空间平台上的成像光谱仪，以数十至数百个连续且细分的光谱波段对目标区域同时成像得到，其中每个波段对应一幅灰度图像，也称为高光谱图像的一个通道，在处理高光谱图像时，同时挖拥多个通道中的信息比单独前沿视角处理每个通道更有效。通常，成像区域的一些特征可同时出现在多特征值与特征尚量个通道中，这意味着高光谱图像中包含了大量几余信息主成分分析方法可将原始多个通道的高光谱图像中的大部分信息用少数几幅彼此不相关的合成图像来表示．比如，图4.1(a)，（b)，（c）分别表示高光谱图像中的三个光谱波(a）波段7(b）波段30(c)波段120(d)第一主成分(e)第二主成分(）第三主成分图4.1

第四章特征值与特征向量142段图像，主成分分析方法将这三个波段的图像重新线性组合，得到了三幅主成分图像，如图4.1(d)，（e)，（f）所示，第一主成分图像（d）的方差占比率为97.08%.这意味着，第一主成分图像包含了原始三个波段图像97.08%的信息，如此，信息得以浓缩和简化.那么如何得到这些主成分图像呢？这个间题的答案与本章内容密切相关，特征值与特征向量的概念与计算4.1在实际问题中，常常碰到这样的问题，即对于一个给定的n阶方阵A，是否存在非零的n维向量α，使得Aα与α平行，即存在常数入，使得Aα=入α成立，在数学上，这就是特征值与特征向量的问题定义设A是n阶方阵，如果存在数入和n维非零向量Q，使(4.1)Aa=a,则称入为方阵A的一个特征值，α为方阵A对应于特征值入的一个特征向量典型例随精讲例1设开征售包里的极有Ao202AaAB=7由定义可知，1与2就是A的两个特征值，α1与α2就是A分别对应于特征值1与2的特征向量；而β则不是A的特征向量从几何上看，矩阵A分别乘向量α1α2与β的结果如图4.2所示，Aα2相当于将向量α2增大一倍.这说明，如果α是A的特征向量，那么Aα相当于对α作一次“伸缩变换VNA

4.1特征值与特征向量的概念与计算143X2Aa.AaB-C1xAp图4.2例2设方阵A满足A2=A.试证A的特征值只有0或1.证设入是A的特征值，α是A对应于入的特征向量，则e典型例题精讲A=Qα0).于是特征值、特征α=Aα=AQ=A(Aα)=A(Aα)=(Aα)=Q,向量的性质所以(12-)Q= 0.因为α0所以2=(1)=0,即=0或=1.对于n阶方阵A，如果α是A对应于特征值入的一个特征向量，那么对任意的k≠0,A(ka)=k(Aα)=k(a)=入(ka)所以，kα也是A对应于特征值入的特征向量设i,α2,.，α都是A对应于特征值入的特征向量，且kiQ1+k2α2++k,α+0,则A(kiai+k2a2+...+krar)=k(Aai)+k2(AQ2)+.**+k(Aar)= k (Aai)+ k2 (Aa2)+...+ kr(Aar)=入(kia1+k22+...+kar)所以kiα1+k2Q2++hα也是A对应于特征值入的特征向量设V是n阶方阵A对应于特征值入的所有特征向量以及零向量所组成的集合，即V=(|Aa=AQ,AeC,aEC".由以上分析可知V对向量的加法和数乘封闭，故V构成子空间.我们称V为A的特征子空间在例1中，Aα1=α1,AQ2=2α2，不难证明A对应于特征值入1=1的所有特征向量都可以由α1线性表出，对应于入2=2的所有特征向量都可以由α2线性表出从几何上看，V，对应于过原点与点（1，1）的直线1，V，对应于过原点与点（2,1)的直线12（图4.3)，即V，=11上的所有向量}，V=[12上的所有向量

144第四章特征值与特征向量X2AaoX图4.3下面讨论对于给定的方阵A=（a）nxn，怎样求A的特征值与特征向量设是方阵A对应于特征值入的特征向量，即Aα=入α（α半O)（I-A)α=0于是，α是齐次线性方程组（入I-A)X=0即(-au)a1-a12r2-...-ainan=0,-a21t1+(-a22)a2-.-a2mn=0.an121-an222-+(-anm)en=0的非零解，因此，（ΛI-A)X=0的解空间就是A的特征子空间，它的维数为dimV=n-R(I-A)(I-A)X=0的基础解系为 V的基,因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，所以det (I - A) = 0.我们将方程det（入I－A）=0称为方阵A的特征方程，特征方程的根就是特征值，故有时又将特征值称为特征根，若入是单根，则称入为A的单特征根：若入是重根，则称入为A的重特征根由以上分析可得求方阵A的特征值与特征向量的计算步骤如下：1°求特征方程det（入I-A）=0的全部相异根入1，2，入（k≤n)：分别求（入,I-A)X=0(i=1.2..,k）的基础解系αi,Qi2,，αir，则20kiai+k2ai2+...+krQi（ki,k2,".，hr，不全为零）就是A对应于特征值入，的全部特征向量3的特征值与特征向量例3求方阵A012>-32-3入+2=（Λ-1)(入-2)，A的特征值为解det(I-A)-1入=12=2

一4.1特征值与特征向量的概念与计算145对于入1=1,齐次线性方程组(iI-A)X=0的系数矩阵为相应简化的齐次线性方程组为21-22=0,其基础解系为α1=（1,1)，故对应于>1=1的A的全部特征向量为hα1(k1≠0).对于>2=2,齐次线性方程组（>2I-A)X=0的系数矩阵为相应简化的齐次线性方程组为21-22=0,其基础解系为α2=(2,1)，故对应于>2=2的A的全部特征向量为k2α2（k2≠0).2-21例4求A=-224的特征值与特征向量，2-24解入-12-2-12Y-2det (-A)=21+2-42入+2-4-2-4入+201-2入-2入14-2142入+6-4=(入-2)2入+600入2= (入 2)2(入 + 7),A的特征值为入1=2(2重),入2=-7.对于>1=2,齐次线性方程组（A1I-A)X=0的系数矩阵为21-2224002-44000相应简化的齐次线性方程组为31=-2r2+2r3,其基础解系为α1=-2,1,0)，Q2=(2,0,1)T，A对应于入1=2的全部特征向量为kα+k2Q2(h1,kz不全为零)对于入2=-7,齐次线性方程组（>2I-A)X=0的系数矩阵为2N2-5相应简化的齐次线性方程组为2其基础解系为 Q3=(1,2,-2)},A对应To:13于入2=-7的全部特征向量为kQ3（k3≠0)

第四章特征值与特征向量146-110的特征值与特征向量，0例5求方阵A-43102解0入+1-1= (入 - 2)(> - 1)2,4入-30det (I - A) =0>-2-1A的特征值为入1=2,入2=1(2重)对于入1=2,对应的齐次线性方程组（>1I-A)X=0为3r132= 0,(4.2)4r172= 0,=0,41其基础解系为α1=(0,0,1)T.A对应于入1=2的全部特征向量为ki1(h≠0)：注意，方程组（4.2）实质上是一个三元线性方程组，其中3的系数全部为零，取3为自由未知量，则当#3=1时，21=2=0.对于入2=1,相应的齐次线性方程组（入2I-A)X=0为=0.211-12=0,4r1-22-13=0,-31其基础解系为α2=（1.2,-1)T，A对应于>2=1的全部特征向量为k2Q2（h2≠0)在例4中，入1=2是A的2重特征根，A对应于入1的线性无关的特征向量有两个即（iI-A)X=0的基础解系由两个解向量组成.在例5中，入2=1也是A的2重特征根，但A对应于入2=1的线性无关的特征向量却只有一个，即（>2I-A)X=0的基础解系只由一个解向量组成设n阶矩阵A的特征多项式为f()= -A|= (-) (-2).. (-X)其中入（)ki=n，则称为特征值入，的代数重数，而入的特征子空间V的维数称为入，的几何重数.可以证明：特征值的几何重数不大于它的代数重数，即如果入，是A的K重特征值则A对应于入的线性无关的特征向量的个数不大于k，也就是（入,I-A)X=0的基础解系所含解向量个数不大于kt.7-1，求A的特征值与特征向量例6设A11

4.1特征值与特征向量的概念与计算147解det(入I-A)入2-2入+2,A的特征值为入1=1+i,12 = 1 - i.对于=1+i（入iI-A)X=0的系数矩阵为=ic2其基础解系为 α1A对应于入1=1+i的全部特征向量为kiα1（ki≠0)对于入2=1-,(入2I-A)X=0的基础解系为α2A对应于入2=1-i的全部特征向量为k2α2（k2≠0).我们将行列式det(ΛI-A）称为矩阵A的特征多项式，记为fA()，即fA() = det (AI - A).下面进一步讨论特征多项式fA(A)的性质：入A-an-a12...Q1n入0.22Q21-a2nfA()= det (I - A) =...:anl-an2入-ann故fA(J)是入的n次多项式fA()="+an-1n-1+.++0(4.3)利用行列式性质将det（I-A）展开可得fA() = det (I-A)="-(ai1+a22+..+ann)^"-1+...+(1)"detA(4.4)又设fA(>)的全部根（即A的全部特征值)为入1入2,，入，则fA() = (-1)(-X2).- (-n)="(+2 ++n)n-1 ++(-1)".n(4.5)比较式（4.3)，（4.4)，（4.5）可得，an-1=-(a11+a22+...+ann)=-(1+>2+...+入n)Qo =(-1)" det A= (-1)")1>2--.入n于是，矩阵A的特征值与A的主对角元及detA之间有以下关系：+)2+...+n=a11+a22+..+an=tr(A),Aid...An=detA

148第四章特征值与特征向量因此，方阵的n个特征值之和等于方阵的主对角元之和；n个特征值之积等于方阵的行列式；n阶方阵A可逆的充要条件是A的所有特征值全不为零。在多项式理论中可以证明：整系数多项式的整数根一定是常数项的整数因子。利用这个结论，可以确定某些矩阵是否有整数特征值741的一个特征值，求常数α及矩阵A例7设入=12是矩阵A：47-144a的其余特征值解因为入=12是矩阵A的一个特征值，所以，5-4-45=9a+36=0.det(I-A)=14-a故a=-4.设矩阵A的其余特征值是入2.入3，则(4.6)入+入2+13=7+7+4=18(4.7)142=detA=108将入=12代入式（4.6).（4.7)，可得入2=入3=3习题4.11.求下列矩阵的特征值与特征向量：3(2)(3)(1)1331111(4) (6)(5)-1110011-12.设入是方阵A的特征值，证明入是A的特征值，3.设向量α是方阵A对于入的特征向量，试求Am对于Am的特征向量4.设是方阵A的特征值，f(）是的多项式，证明f()是f(A）的特征值5.试讨论可逆矩阵A与A-1的特征值与特征向量的关系6.设A可逆，讨论A与A*的特征值（特征向量）之间的关系7.设n阶矩阵A的任何一行中n个元素的和都是a，证明入=a是A的特征值8.设A?=I.证明A的特征值只能是士1

-4.2超陈的相仪对角化1499.设n阶矩阵A满足ATA=I.detA=-1.证明-1是A的一个特征值10.设入1，入2,**，入n为A=（au）nxn的n个特征值，证明Z-gj-i=-1j=111.设3阶矩阵A的特征多项式为fA()=>3-3)2+5入-3,则A的整数特征值可能是哪些数？这些数中是否有A的特征值？4.2矩阵的相似对角化相似矩阵的基本概念在习题1.3的第13题中，我们已经知道，如果已知可逆矩阵P，且P-1AP=A（对入1角矩阵）：则A=PAP-,且入2A=PAPA对于同阶方阵AB,如果存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,那么对于A与B之间的这种关系，我们给出如下定义：定义对于n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP=B,则称A与B相似，记为A~B矩阵之间的相似关系具有以下性质：1°反身性A~A;2°对称性若A~B,则B~A;3°传递性若A~B且B~C.则A~C1°和2°的证明是很显然的，3°的证明如下：设A～B,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,又B~C,则存在可逆矩阵Q,使Q-BQ=C.所以Q-1P-1APQ=(PQ)-1A(PQ)=C,记R=PQ.则R可逆，且R-AR=C.故A~C定理1相似矩阵的特征值相同。证设A～B,则存在可逆矩阵P使B= P-IAP,det (I - B) = det (I - P-IAP) = det [P-(ΛI - A)P]

150第四章特征值与特征向量= det P-1 det(I - A)det P = det(ΛI -A),A与B的特征多项式相同，因此A与B的特征值相同(入ie典型例随精讲入2.求例1设n阶方阵A~A=相似矩阵的性质入A（h为正整数）解因为A~A,所以存在可逆方阵P.使P-1AP=AA=PAP-1,故A*=(PAP-1)(PAP-1)...(PAP-1)=PA"P-1(X格=Pb入只需求出P-1,再计算出PA*P-1就行了，当比较大时，这比直接计算A*要方便得多，我们自然要提出的问题是，什么样的矩阵A可以与对角矩阵相似？或者说，对于给定的矩阵A在什么条件下存在对角矩阵A与可逆矩阵P,使P-1AP=A？如果这样的矩阵A与P存在，那么又应该怎样求出？下面就讨论这些问题矩阵的相似对角化二、1入2相似，则入1，入2，定理2.若n阶矩阵A与对角矩阵A：An入，是A的全部特征值，1入2证因为A～=所以A与A的特征值相同.又入ndet(I -) = (-)(-2)---(-n),所以入1，入2，.，入，是4的全部特征值，也就是A的全部特征值定理2指出，若A与对角矩阵A相似，则A的主对角线上的元就是A的全部特征值，那么.使P-1AP=A的矩阵P又是怎样构成的呢？