《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第一章 矩阵及其初等变换_第三节 逆矩阵

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新时代大学数学系列教材 线性代数

第一章矩阵及其初等变换C=a第三节逆矩阵Ca-B=(atb数（和十六2业

第三节 逆 矩 阵 第一章 矩阵及其初等变换

线性代数第三节逆钜阵目录逆矩陪的概舍与性质用行韧等壹换来造矩高事教商出成社1新时代大学数学东列教材

一 二 线性代数 第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 逆矩阵的概念与性质 用行初等变换求逆矩阵

线性代数第三节逆矩阵一、逆矩阵的概念与性质数a0：aal=a=1?：?矩阵A：A（？）=I定义设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1=B.若A可逆，则A-I存在，且AA-I=A-IA=I首高等教有出服社新时代大学教学集列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 一、逆矩阵的概念与性质 数a ≠0：a a-1 = a -1 a =1 ?: ?矩阵A: A ( ? ) = I 定义 设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得 AB = BA = I, 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1 = B. 若A可逆，则A-1存在，且 A A-1 = A-1 A = I

线性代数第三节逆矩阵单位阵1：I-1=I对角阵dDOO0）DO(d)d.d.(k)I,（ko)k意事教出1：新时代大学数学集列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 单位阵 I : 对角阵: I -1 = I

线性代数第三节逆矩阵定理1设A可逆，则它的逆是唯一的证：设有B和C满足AB=BA=IAC=CA=I则BBIBAC)BA)CICC若A,B均为方阵，且AB=I（或BA=I)，注意则A可逆且B=A-I应用：事教古版社新时代大学数学集列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 定理1 设 A 可逆，则它的逆是唯一的. 证： 设有B和C 满足 AB = BA = I, AC = CA = I. 注意 若A, B均为方阵，且AB = I (或 BA = I), 则A可逆且B=A-1 . 应用：

线性代数第三节逆矩阵性质设A，B均为n阶可逆矩阵，数入+0，则1. A-i可逆，且(4-1)l=42.^A可逆，且（I A)"=二A3. AB可逆，且(AB)-1 =B-1 A-14. AT可逆，且(AT)-1 =(A-I)T证3:（AB（BA）A(BB)AAAI所以AB可逆，且（AB）口BA4:AA)TE(AA)TI高等教出社1新时代大学数学集列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 性质 设A, B 均为n阶可逆矩阵，数λ≠0 ，则 1. A-1可逆， 且 (A-1) -1 = A; 2. λA可逆， 且 3. AB可逆，且 (AB) -1 = B-1 A-1; 4. AT可逆， 且 (AT) -1 = (A-1) T. 证 3: 4：

线性代数第三节逆矩阵例1设方阵A满足A2-A-2I=0.证明(1)A和I-A都可逆，并求其逆矩阵：（2）A+I和A-2I不同时可逆A(A)2I证(1)A(AI)I所以A可逆，A口AI）(A)IA)I所以IA可逆，且I口A）A(2)(AI)(A2I)A?A2I 0为什么？所以，A+I和A-2I不同时可逆意事教出新时代大学教学集列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 设方阵A满足A2 - A - 2I =O, 证明： (1) A和I - A都可逆，并求其逆矩阵； (2) A+I 和A-2I不同时可逆. 证 (1) (2) 所以，A+I 和A-2I不同时可逆. 为什么？

线性代数第三节逆矩阵例2设BB，AIB证明：A可且A3IA310444证S3OB-OOBE23OB2BOB2正IOBOIOBB?I2A可逆且ABIOAO2首高等教有出服社新时代大学数学东列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 例2 证

线性代数第三节逆矩阵矩阵A满足：Ak口0例31正明：1口A可逆：D求：口口A口解分析：□A? □I.VAWOAOAOOOAOOOAOA?O OA*C DAAO OAKO AKLOIAI口IOA可逆且OAOIOAOAKO高等教出社11新时代大学数学东列教材

第三节 逆矩阵 新时代大学数学系列教材 线性代数 例3 解