山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律

第五章大数定律与中心极限定理S1大数定律依概率收敛切比雪夫大数定律三、辛钦大数定律四、伯努利大数定律08

第五章 大数定律与中心极限定理 §1 大数定律 一、依概率收敛 二、切比雪夫大数定律 三、辛钦大数定律 四、伯努利大数定律

引言第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景008不不不高等数学工作堂不不

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?、依概率收敛定义5.1.1 设(X,}是一个随机变量序列，X为一个随机变量，若对任意的 ε>0,有lim P[X,-X ≥}=0则称随机变量序列:X,依概率收敛于随机变量 X，记X,-P→>X定义 5.1.2 设IX,是一个随机变量序列，μ为一个确定的常数，若对任意的ε>0，有lim PlX,-μ≥}=0,则称随机变量序列(X,依概率收敛于μ，记X，-P→μ性质(1) 若X,P→a，Y,-P→>b，则X,Y, -P >ab, X, ±Y, P >a±b,YD在X，≠0,a±0时，有X.0(2)若X,，一P→>a，则对于任意实数 k，有kX，—P→>ka;00108个不个高数学工作室不不不

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(3) 若X,P→a,p(x)在点x=a连续，则p(X,)P→p(a);(4) 若X,P>a，Y,P>b，函数β(x,y)在点(a,b)连续，则p(X,,Y,) -p>p(a,b);(5) X,-P→μ V>0, 有limP(lX, -μ1，有X,X，,X,相互独立，则称X，为相互独立的随机变量序列;对于任意n>1，有X,X,.,X,独立同分布，则称X为相互独立的随机变量序列001018个不个高等数学工作室不不不

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S例1设X,,X,,X,…为独立同分布的随机变量序列，存在期望与方差: E(X,)=a,D(X,)=α2,2Ex-a证明： n→8时n(n+1))L22nZx.7证 记5，:. E(5)ku=a,n(n +1) k-In(n+1))4ng?4Zrosoty2o2D(5n)= n'(n+1)0，均有4ng?D(5,)Pl5,-a8≤→0(n→8),(n+1)°g?3则lim Pll与，-α< ε}=0， 所证结论成立.22000008不不高等数学工作堂不个

高等数学工作室 5 , ( 1) 2 ( ) 1 k a n n E n k n            n k n k n n D 1 2 2 2 2 ( 1) 4 ( )   0 (n  ),     n n k 1 2 2 ( 1) 4  , ( 1) 4 2 2   n n

二、切比雪夫大数定律定义 5.1.4 设X为一个随机变量序列，E(X,)存在，若对任意的(2x-12E(X)≥6)-0.>0， 有limn则称X1服从大数定律定理5.1.1（切比雪夫大数定律的特殊情况）设X.为相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差，E(X)=μ，D(X)=α2 (k =1,2,..,n). 则对于任意 e>0 ，有mpi2x -m≥6]-0.008不不不高等数学工作堂不不

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S定理5.1.1（切比雪夫大数定律的特殊情况）设X为相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差，E(X)=μ，D(X,)=α2 (k=1,2,..,n). 则对于任意 ε>0 ，有mp(i2x - μ≥6 -0.OE2X1-12E(X)-u, D,≥X1-2D(X)-证7nk=lnk=lk-12x-z01s01n→0 (n →+),由切比雪夫不等式得P2n[12x.-m20]-0.1.lim Pn-0该定律表明若随机变量序列X,X,,X,，独立同分布，当 n 很n,之x,很可能接近于u.大时，它们的算术平均值L001018不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 7 ] 1 [ 1 n k Xk n E ( ) 1 1   n k E Xk n  , ] 1 [ 1 n k Xk n D ( ) 1 1 2   n k D Xk n , 2 n               n k Xk n P 1 1 2 2 /   n   0 (n  ), 0. 1 lim 1                n k k n X n P

-三、辛钦大数定律定理5.1.2（辛钦大数定律）设IX，为相互独立的随机变量序列,若X的数学期望E(X,)=μ(k=1,2,...,n)．则对于任意的 ε >0 ，有Imp(12× -m≥6]-0.辛钦大数定律表明若随机变量序列X,X,.…·X.，·独立同分布，,之x,很可能接近于山当n很大时，它们的算术平均值nk=l辛钦大数定律又可叙述为设X，为相互独立的随机变量序列，若定理5.1.2 (辛钦大数定律),之x,依概率收敛X,的数学期望E(X)= μ(k =1,2,,n)，则序列X=nk-1于μ,即X-P>μ.001018中不不不高等数学工作室不不个

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-四、伯努利大数定律定理5.1.3（伯努利大数定律）设每次试验中事件A发生的概率为p，n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数为 f，则对任意的 ε>0，有I4-p≥e/=0.lim Fa证设X,(k=1,2,.)表示第k次试验中事件 A 发生的次数，显然X,X,，.相互独立且都服从参数为p的0-1分布，f = X,+X, +...+X.又E(X)= p，(k =1,2,,n)，由辛钦大数定律知lmP/2x-p≥f-0.n->00伯努利大数定律表明当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率能够依概率收敛于事件A的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性0008中不个高等数学工作堂个不个

高等数学工作室 9 . A X1 X2 Xn f    0. 1 lim 1             X p  n P n k k n

伯努利大数定律表明当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率能够依概率收敛于事件A的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件的频率来代替事件的概率例2设X,为独立同分布的随机变量序列，且X，～N(u,α2）求常数c，使得"'2xse.n解E(,Zx)) -,≥E(X)) -,2(D(X,)+[E(X,)")ni=l+2(o'+μ') -o'+u, .c=o'+μ'.000810不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 10 ) 1 ( 1 2 n i Xi n E ( ) 1 1 2   n i E Xi n    n i D Xi E Xi n 1 2 { ( ) [ ( )] } 1    n n i 1 2 2 { } 1   , 2 2     . 2 2 c    