山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 二维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布S5二维随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布福二、二维连续型随机变量函数的分布0

第三章 多维随机变量及其分布 §5 二维随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布 二、二维连续型随机变量函数的分布

、二维离散型随机变量函数的分布例1设随机变量（X.Y）的分布律为Y0X-110.10.20.1100.220.4求X+Y的分布律解X+Y的分布律为30X+YP0.20.10.20.52T若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y = y,} = pij,i, j = 1,2,...则Z =g(X,Y)的分布律为 P(Z =z} =PIg(X,Y)= z} =Epig(xiyj)=zk(k = 1,2, ...).000x个个个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 2 X+Y P 0 0.1 1 0.2 2 0.15 3 0.2 P{X  xi ,Y  y j}  pij ,i, j  1,2,， { }k P Z  z   i j k g x y z pij ( ) { ( , ) }k  P g X Y  z (k  1,2,)

例2设X与Y是相互独立的随机变量，X～元(），Y～元(2）证明Z=X+～( +).证P(Z =i}= P(X +Y = i) = P(U(X = k,Y =i-k))EP(X=k,Y=i-k) =-ZP(X=k)P(Y =i-k)k=0k=005eeat2ct4.5(i-k)!K(+)e-+)c·,即Z=X+Y～( +)i!k=l说明称性质“同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布”为此类分布具有可加性，上例说明泊松分布具有可加性，另外一项分布也具有可加性001018不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 3 P{Z  i}  P{X Y  i}      i k P X k Y i k 0 { , }        i k k i k e i k e 0 k 1 1 2 2 ! ( )!     ( { , }) 0 P U X k Y i k i k           i k P X k P Y i k 0 { } { }       i k k k i k Ci e i 0 1 2 ( ) 1 2 ! 1     , ! ( ) 0 1 2 1 2 ( ) 1 2        i k k k i k i i e C i      

6二、二维连续型随机变量函数的分布y1、Z=X+Y的分布设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,J)，则x+y=ZFz(z) =PIZ≤z) =P(X+Y≤z)0XJJ f(x, y)dxdy = m" f(x, y)dx hly,X+ySz.. fz(z)= f(z- y,y)dy, fz(z) = [ f(x,z-x)dx.当 X, Y 独立时, f(x,y)= fx(x)f(y)则 fz(z)= fx(z-y)fr(y)dy 或 fz(z)=[m fx(x)fr(z-x)dx这两个公式称为fx、f,的卷积公式，记为f＊fy，即fx * f, = fx(z- y)fr(y)dy = [ fx(x)fr(z -x)dx.0010个不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 4 F (z) Z f x y dxdy x y z     ( , )    z y f (x, y)dx x y O x  y  z  P{Z  z}  ，    f z  f z  y y dy Z ( ) ( , ) f (z) f (x,z x)dx. Z      dy，    [ ]  P{X Y  z}   f z  f z  y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) f (z) f (x) f (z x)dx. Z  X Y   或     f f  f z  y f y dy X Y X Y * ( ) ( ) f (x) f (z x)dx.  X Y     f (x, y)  f X (x) fY ( y)

S例3设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度4.8y(2-x) 0<x<1,0 < y<xf(x,y)=其它0x0求 Z-X+Y的概率密度fz(z).(4.8(z -x)(2 -x) 0<x<1,0 <z -x<x解 f(x,z-x)=0其它fz(z)= Jm f(x,z-x)dx,[0<x<10<x<1即要使被积函数不为零，需NI<x<z0<z-x<x124.8(z - x) (2 - x)dx = 1.2z2 - 0.4z30<z<1:. fz(z) =3[ 4.8 y(z - x)(2 - x)dx = 0.4z3 - 3.6z2 + 7.2z - 3.21<z<2其它00008个不高等数学工作室不个

高等数学工作室 5 ( ) ( , ) ,   f Z z  f x z  x dx , 0 0 1         z x x x 需 , 2 0 1         x z z x 即       f Z (z)     1 2 z 4.8 y(z x)(2 x)dx 1  z  2     z z z x x dx 2 4.8( ) (2 ) 0  z  1 0 其它 2 3  1.2z  0.4z 0.4 3.6 7.2 3.2 3 2  z  z  z  , 0 4.8( )(2 ) 0 1,0 ( , )             其它 z x x x z x x f x z x o x y

例 4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布，求Z-X+Y的概率密度解 fx(x)=f,(y)2元2元(z-x)2x2dx2e.:. fz(z) =fx(x) f, (z-x)dx =002元zN18M4dxdt =212元元1即Z服从N（0+0,1+1）分布说明 若X、Y相互独立且X～ N(0,I)，Y～ N(0,1)，则 X+Y~N(O,2),C008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 6 , 2 1 ( ) 2 2 y Y f y e    f Z z f X x fY z x dx    ( )  ( ) (  ) e e dx x z x       2 ( ) 2 2 2 2 1  e e dx z x z       2 2 ) 2 ( 4 2 1  e e dt t z     2 4 2 2 1  , 2 1 4 2 z e    2 z t x 

推论(() 若 X、 相互独立且X～N(μ,)，Y～N(μz,c,)，则X+Y~N(u, + μ2,g +a2)(2)若X,～N(uj,ci）(i=l,2,:,n)且它们 相互独立，则Zx,~N(Zu.Zoi)i=1-1-1(3）有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布说明上例说明正态分布具有可加性S0008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 7

及Z=XY的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y), 则 fv/x(z)=xf(x,xz)dx,I x(2)= f(x.)dx又若X、Y相互独立且其概率密度分别为f(x)f,(y), 则 fy/x(z)=xfx(x)fr(xz)dx,Ir(2)- x(x)r()dx.8008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8

证　设Z=Y/X的分布函数为2Fy/x(z2) = P(Z≤z) = P[Y / X≤z)=[[ f(x,y)dxdy y=zy/xSzJJ f(x, y)dxdy +J f(x, y)dxdy0x(z0-' dx t* f(x,y)dy +ft* dx f(x,y)dy2Gy=x.. Jy/x(z) = [" [-xf(x,zx)]dx + f* xf(x, zx)dx人=xf(x,zx)dx。 类似可证后一公式.(z>0)G20008个不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 9 ( ) / F z Y X  P{Y / X  z} x y G1 O y  zx G2 (z  0) x y G1 O y  zx G2 (z  0)    y x z f x y dxdy / ( , )     , 0 ( , ) y zx x f x y dxdy     , 0 ( , ) y zx x f x y dxdy   zx f (x, y)dy  zx f (x, y)dy   0 dx    0 dx  P{Z  z} ( ) / f z  Y X    0 [ xf (x,zx)]dx    0 xf (x,zx)dx ( , ) .     x f x zx dx

?例5设随机变量X与Y独立同分布，其概率密度为x>0f(x) =０　其他求Z=Y/X的概率密度解 依公式fxix(z)= x f(x)f(xz)dx若使被积函数不为零，需0<x，0<xz，即0<x,10<zxe-e-xdx(z +1)2:. fy/x(z) =其他0000810个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 10     fY / X (z)  0  z 其他      0 xe e dx x xz 0 2 ( 1) 1   z