山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数学期望

第四章随机变量的数字特征引言08

第四章 随机变量的数字特征 引言

、随机变量的数学期望第二章、第三章介绍了随机变量的分布函数、分布律、概率密度，它们完整地描述了随机变量，但在某些问题中，人们只是关心随机变量在某一方面或某些方面的特征，这个特征用数字来度量，称为数字特征例如，评价棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离程度较小，质量就较好本章介绍数学期望、方差、协方差、相关系数、矩0

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S1数学期望随机变量的定义三三随机变量函数的数学期望数学期望的性质四、宫常见分布的数学期望08

§1 数学期望 一、随机变量的定义 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、常见分布的数学期望

?随机变量的数学期望引例1某车间生产一种零件，检验员每一天随机地抽取n个零件来检查，查出的废品数X是一个随机变量，若检查了N天，其中废品数为0,1,2,..,n个的天数分别为ao,a,,az,..,a,(a +a, +a, +..+a,= N),问N天出现的废品的平均数为多少？n分析 N天出现的废品总数为kak，N天出现的废品平均数为k=02-0由上可知，N天出现的废品平均数是每个废品数以其出现的频率为权值的一个加权平均．当N逐渐增加时，每个废品数出现的频率也将趋向于该废品数的概率，即是说，当N很大时，X的平均值k在一定意义下Nk=0接近于kpr，称kp,为X的数学期望或均值.k=0k=(001018拉个不个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 4 . 0 N a k k n k 

引例21654年法国有个赌徒向数学家帕斯卡提出了一个令他苦恼已久的问题：甲、乙一人各出赌注50法郎进行赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部赌注100法郎，假定两人赌技相当，且每局不会出现平局，如是甲赢了两局，乙赢了一局，因故要终止赌博，问这100法郎要如何分配才合理？分法有二：（1）基于已赌局数，甲赢了两局，乙赢了一局，甲得 100 法郎的三分之二，乙得三分之一（2）帕斯卡提出了一个分法：假定再赌下去，则甲最终所得是一个随机变量，其可能值为0或1001000X所以，甲应得0×0.25+100×0.75=75Pk0.750.25001018个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 5 X k p 0 100 0.25 0.75

福定 义 4.1.1离散型随机变量X的分布律为P[X=x}=Pk，k=1,2,..，若级数x,Pk绝对收敛，则称级数k=1即ZxiP的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),k=1E(X)-Ex Pr:k=1说明(1)E(X)是一个实数，而非变量.它是一种加权平均，与一般的算术平均不同级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而(2)改变，之所以这样要求，是因为数学期望用来反映随机变量X的取值的平均值，它不应随所取值的排列次序而改变001018中个不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6

S定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)= J x f(x)dx.E(X)，即例1谁的技术比较好？甲、乙两射手成绩分布律如下：8９10X8９910Y0.3 0.1 0.40.2 0.5 0.3PkPk解E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1甲的技术比较好。001018个不高数学工作室不不不

高等数学工作室 7 E(X)  8 0.3  9 0.1 10 0.6  9.3, X pk 8 9 0.3 0.1 10 0.4 Y pk 8 9 0.2 0.5 10 0.3 E(Y )  8 0.2  9 0.5  10 0.3  9.1

例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个,奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润解设每张彩票中奖的数额为随机变量X，X1000050001010001000pk0.010.00001 0.00002 0.0001 0.001cE(X)=10000×0.00001+5000×0.00002+1000x0.0001+100×0.0001+10×0.0011 = 0.5.每张彩票平均可赚2-0.5-0.3=1.2，因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为120000元001018个不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 8  0.5. E(X)  10000 0.00001 5000 0.00002  1000 0.0001 100 0.0001 10 0.001 X p k 10000 5000 1000 100 10 0.00001 0.00002 0.0001 0.001 0.01 0 c

例 3 (1) 若X~b(1,P),求E(X);(2) 若X~ 元(2), 求E(X)0解(1)X1E(X)=0×(1- p)+1×p= p,pPkI-pk(2)P(X = k)= 0,1,2,...二2从2-42/=k-N+00ZE(X) == Ne-1KKk!k!(k-1)!K=0k== Ne-r.en = n.o08个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9 E(X)       0 ! k k e k k         1 ! k k e k k          1 1 ( 1)! k k k e     .    e  e  , 0,1,2, , ! (2) {  }  e  k   k P X k k          0 1 ! l l l k l e    X pk 0 1 p 1 p E(X)  0(1 p)  1 p  p

例 4 (1) 若X~U(a,b)，求E(X)(2) 若X~E(0), 求E(X);(3) 若X~ N(μ,α), 求E(X)a0.其它0xE(X)=txf(x)dx = Jtx.0dx = 0.A00810个个个高等数学工作室不不个

高等数学工作室 10 , 01 (1) ( )      其它 a x b f x b a E(X) xf (x)dx    dx b a b x a   . 2 b  a  , 0 0 1 (2) ( )     其它 e x f x x  E(X) xf (x)dx    x e dx x       1 0  