山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 离散型随机变量及其概率分布

第二章随机变量及其分布S2离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其分布律一、几个常用的离散型随机变量的分布0

第二章 随机变量及其分布 §2 离散型随机变量及其概率分布 一、离散型随机变量及其分布律 二、几个常用的离散型随机变量的分布

一、离散型随机变量及其分布律定义 2.2.1可能取值为有限个或可列个的随机变量称为离散型随机变量假2一没散型随机变城所布可能取救的值台（夜收到的呼唤取数都是能概为量。 P[X = x = Pk， k =1,2,….,上式称为离散型随机变量X的概率分布律（或分布律）XX12X2?...p,Pk PiP2PkPp,表格表示法基本性质 1° 非负性Ph ≥0, k =1,2,.. ;Zp, =1;2° 规范性k=l计算公式 若Lc R, 则P(Xe L)=ZPkLEL说明上述两条性质是判断一个组数是否为分布律的充要条件00108不不不高数学工作室不不不

高等数学工作室 2 X pk x1 x2  xk  p1 p2  pk            n n p p p x x x X 1 2 1 2 ~

福例1 i设随机变量X的分布律为-1302X111P k3124试求（1）常数a；（2）P}X>P/2≤X≤4)福解(1)+a+G3124- P(X -0)+P(X =2)+ P(X-3) -$+12+1 号(2)P(X >P(2≤X ≤4) = P(X = 2] + P(X = 3] o08个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 3 X p k  1 0 2 3 4 1 12 1 3 1 a , 1 4 1 12 1 3 1 (1)  a    . 3 1  a  } 3 1 (2)P{X    P{X  0} P{X  2} P{X  3} 4 1 12 1 3 1    , 3 2  P{2  X  4}  P{X  2} P{X  3} 4 1 12 1   . 3 1 

例2 一盒中有 6个大小相同的球，编号依次为1，2，3，4，5，6,从中一次取3个球，记抽取的球的最大编号为X，求X的分布律解根据题意，X的可能取值为：3，4，5，6,csC3门P(X = 3) =PIX = 4} =CsC2020C3CP(X = 5} =P(X = 5) =C2C.10'635X3311Pk2202010eo不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 4 , 20 1 { 3} 3 6 3 3    C C P X , 20 3 { 4} 3 6 2 3    C C P X , 10 3 { 5} 3 6 2 4    C C P X . 2 1 { 5} 3 6 2 5    C C P X X p k 3 4 5 6 2 1 10 3 20 3 20 1

、几个常用的离散型随机变量的分布1、两点分布或（0-1)分布定义 2.2.3 设随机变量X只可能取0.1两个值，它的分布律为P(X = k)= pk (1- p)l - k,k = 0,1(0 <p<1),则称X服从参数为p的两点分布或(0-1)分布X分布律也可记为Pk1-p说明两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等都属于两点分布0008不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 5 X pk 0 1 p 1 p

例3“抛硬币”试验，观察正、反两面情况X00出现反面X=[1出现正面Pk1/21/2例4100件产品中，有96件合格品，4件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定X0取不合格品0X=Pk24/251取合格品1/252008不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 6     1 0 X X pk 0 1/ 2 1 1/ 2     1 0 X X pk 0 1/ 25 1 24/ 25

2、贝努利试验、二项分布定义 2.2.4 设试验 E 只有两个可能结果：A 与A，则称为贝努利试验。将贝努利试验独立地重复地进行n次，则称为n重贝努利试验说明这里的“重复”是指在每次试验中 P(A)=p（0<p<1）保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响计算n次贝努利试验下事件A恰好出现k(k=0,1,..,n)次的概率：以X表示n次贝努利试验下事件A出现的次数，（i）依试验的独立性，事件A在指定的k次试验发生而在其它n一kp*(1 - p)"-k次试验不发生的概率为（ii）事件X=k}包含Ck种类似于（i）的情形，且两两互不相容则有P[X = k) = Ch p*(1- p)"-k, (k = 0,l,...,n).上式称为二项概率公式。随机变量X服从的分布称为参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p).0010不不不高数学工作室不不不

高等数学工作室 7 (1 ) , k n k p p   P{X  k}  (1 ) , k k n k Cn p p   (k  0,1,,n)

P[X = k)= Ch p*(1- p)"-k, (k = 0,1,..,n).二项概率公式常记为：P[X = k} = Ch p*qn-k, (k = 0,1,...,n;p+q =1).特别地，二项分布 b(1,p)变为参数为p 的(0-1)分布，即P[X = k) = p*(1- p)"-k,k= 0,1.80008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8 P{X  k}  (1 ) , k k n k Cn p p   (k  0,1,,n). P{X  k}  , k k n k Cn p q  (k  0,1,,n; p  q  1). { } (1 ) , 0,1. 1      P X k p p k k k

福例5按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品．已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只．问20只元件中恰有k只（k=0,1,2,·..,20）一级品的概率是多少？分析这是不放回抽样．但由于这批元件的总数很大，且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小，因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.检查一只元件看它是否为一级品看作一次贝努利试验，检查20只元件相当于20次贝努利试验解　X为20只元件中一级品的只数，则X～b(200.2)，P(X = k) = C20 (0.2)* (0.8)20-k, k = 0,1, ,20.008拉个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9 P{X  k} (0.2) (0.8) , 20 20 k k k C   k  0,1,,20

例6设诸葛亮解决某问题的概率为0.9，三位神将各自独立解决某问题的概率是0.6，神将中至少有一个人解决出问题即胜出比赛，诸葛亮和三位神将团队哪个胜出的可能性大呢？解由于三位神将各自独立解决某问题的概率是0.6令X为表示三位将中解决问题的人数，则X~b(3,0.6)，于是所求的概率为P[X ≥1) = 1 - P[X <1) =1-C · 0.6° (1- 0.6)3-0 = 0.936.00810不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 10 0 0 3 0 3 1 0.6 (1 0.6)  P{X  1}  1 P{X  1}   C     0.936