山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 概率的定义

第一章随机事件与概率S2林概率的定义概率的统计定义m概率的公理化定义古典概率四、几何概率08

第一章 随机事件与概率 §2 概率的定义 一、概率的统计定义 二、概率的公理化定义 三、古典概率 四、几何概率

-概率的统计定义定义 1.2.1 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数n 称为事件 A 发生的频数，比值n/n称为事件 A 发?生的频率，并记成f,(A)，即f,(A)=基本性质(1)0≤ f, (A)≤1;(2) f,(S) = 1;(3)若Aj,A2，…,A,是两两互不相容的事件，则f.(A, U A, U...U A)= f.(A,)+ f.(A,)+ ...+ f,(A).事件A的频率表示了A发生的频繁程度频率越大，事件A发生越频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性越大，反之亦然因而，可以尝试用频率来表示A在一次试验中发生的可能性大小0008个不个高数学工作室不不不

高等数学工作室 2 (1) 0  f (A)  1; n (2) f (S)  1; n

C例考虑历史上有人做过的“掷硬币”试验。数据如下表所示：表 1-1f.(H)实验者nn德·摩根204810610. 5181蒲丰404020480. 5036K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊0. 50052400012012其中n表示H发生的频数，fH)表示H发生的频率从表1-1可以看出，频率f.（H)逐渐稳定于0.5.大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fA)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数P.统计学家通常将其看作事件A发生的概率，这就是概率的统计定义，这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.50008不不不高等数学工作堂不不

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、概率的公理化定义1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展定义 设 E 是随机试验， S 是 E 下的样本空间.对于 E 的每一事件 A赋予一个实数，记为 P（A），称为事件A 的概率，如果集合函数P（·）满足下列条件：1°非负性对于每一个事件A，有P(A)≥0;2°规范性对于必然事件 S，有P(S)=1;3°可列可加性对于两两互不相容的事件Aj,A,，…，成立P(A, UA, U-.-) = P(A,)+ P(A,)+..:000个不个高等数学工作室不个

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S其他性质性质 1 P(O)=0.证结合可列可加性，令A = A, =·…·= 即可得证.性质2（有限可加性）对于两两互不相容的事件A,,A,A,，成立P(A, UA, U...UA, )= P(A)+ P(A)+ ...+ P(A,).证 结合可列可加性及性质 1，令An+1 = An+2 =.…:=の即可得证.性质3设A,B是两个事件，若ACB,B（可减性）P(B-A)= P(B)-P(A);A(单调性)P(A)≤ P(B).证 : ACB :.AU(B-A)=B: A(B-A)=O : P(A)+P(B-A) = P(B):P(B-A)=P(B)-P(A), 由概率的非负性知 P(B)≥ P(A)P(B-A)= P(B-AB) = P(B)-P(AB)说明0008个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 5  A  B  A(B  A)  B  P(A)  P(B  A)  P(B)  P(B  A)  P(B)  P(A), B A  A(B  A)   P(B)  P(A). P(B  A)  P(B  AB)  P(B)  P(AB)

S性质 4 对于任一事件A，有 P(A)≤1.证 : AcS :. P(A)≤P(S) =1.性质5(互补性，又称逆事件的概率)）对于任一事件A，有P(A) = 1- P(A)证 : AUA= S,ANA =O, : P(A)+P(A)= P(S)=1.:. P(A) =1- P(A).性质 6（加法公式）对于任意两事件A,B有BABAP(AUB) = P(A)+ P(B)- P(AB).证 P(AUB) = P(AU(B- A) = P(A)+ P(B- A)= P(A)+ P(B -AB) = P(A)+ P(B)- P(AB)008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6  A  S  P(A)  P(S)  1.  A A  S, A A  ,  P(A)  P(A)  P(S)  1,  P(A)  1 P(A). P(A B)  P(A(B  A))  P(A)  P(B  A)  P(A)  P(B  AB)  P(A)  P(B)  P(AB). A AB B

对于任意事件 A,B,C 有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(BC)- P(CA)+ P(ABC).对于 n 个事件Aj,A,,..,A,，有P(A, UA, U...UA,)-Z4- ZP(A,4)++Z P(A,A,A) -.+(-1)"- P(A,A, .A,).1si<jSn1≤i<j<k≤no08个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 7 ( ) P A1  A2  An ( ) ( ) 1 1 1               n i j k n i j k n i j n i j n i Ai P A A P A A A ( 1) ( ). 1 2 1 n n  P A A A    

-三、古典概率定义若试验E满足：1°试验的样本空间只包含有限个元素：2°试验中每个基本事件发生的可能性相同这种试验称为等可能概型，也称古典概型A 包含的基本事件个数则 P(A) =S中的基本事件总数古典概率具有以下性质：1°非负性对于每一个事件A, 有P(A)≥0;2° 规范性 对于必然事件 S，有 P(S)=1;3°可列可加性对于两两互不相容的事件A,A,,…，成立P(A, UA, U...)= P(A )+ P(A,)+...008不不个高等数学工作室不个

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C例1将 n只球随机地放入 N个盒子中去，试求（1）指定的n个盒子中各有一球的概率：（2）恰有n个盒子各有一球的概率n (n-1)...1n!解 (1） 所求概率p=-NnNnN (N-1)... (N-n+1)AN(2) 所求概率p =NnNn(生日问题)假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，求随机抽取的n个人中生日各不相同的概率pA6s解n个人生日各不相同的概率为365"104060n如表p0.8840.118 0.00780008拉不不个高等数学工作室不不不

高等数学工作室 9 . n n N N A   n N N (N  1)  (N  n  1) , 365 365 n n A n p 10 40 60 0.884 0.118 0.0078  n N n (n  1)  1 . ! n N n 

S例2设有 N件产品，其中有 D 件次品．今从中任取 n 件，问其中恰有k件次品的概率是多少？C,Ch-D(k ≤ D,k ≤ n).超几何概率解所求概率为C"例3在1～2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被 6整除又不能被8整除的概率是多少？解设A为事件“取到的数能被6 整除”，B为事件“取到的数能被8 整除”，则P(AB) = P(AU B) =1- P(AUB)=1- P(A)- P(B)+ P(AB)333250833一1A20002000200000810不不不高等数学工作堂不不

高等数学工作室 10 n C N k CD (k  D,k  n). n k CN D   P(AB)  P(A B)  1 P(A B)  1 P(A)  P(B)  P(AB) 2000 83 2000 250 2000 333  1   . 4 3 