《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第一章矩阵及其初等变换_1-3逆矩阵

第一章S3逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵的性质三、逆矩阵的求法加油！

§3 逆矩阵 三、逆矩阵的求法 一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵的性质 第一章

一、引入在数的运算中，当数a≠0时，有aa-1 = a-'a= 1,其中α_为a 的倒数，（或称a的逆)在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1,使得AA-1 = A-'A= I,则矩阵A-称为A的可逆矩阵或逆阵加油！

1 1 AA A A I,     则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 1 A 1, 1 1     aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1  其中  为 a 的倒数，（或称 a 的逆） 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 ,使得 一、引入

二、逆矩阵的定义定义设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=1则称A可逆的，并称B为A 的逆矩阵3-2例如B=A=25有AB=BA=I，，所以A与B互为逆阵[1 2]例如没有逆矩阵A=00加油！

定义 设A是一个n阶方阵， 若存在n阶方阵B，使得 AB = BA = I 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B                 有AB = BA = I ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如 1 2 0 0 A        例如 没有逆矩阵

说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的若设B和C是A的可逆矩阵，则有AB= BA=I, AC=CA=I.可得 B = IB=(CA)B=C(AB) =CI =C所以A的逆矩阵是唯一的,记作A-B=C= A-1加油！

说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB BA I AC CA I     , , 可得 B IB   CAB  CAB   CI C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A .   

000002000求A-10300例 已知A=00000A0000500001001/20001/300000001/400001/5加油！

1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 A A                  例 已知 求 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 5 A                  

三、逆矩阵的性质1.若A可逆,则A-I,A亦可逆,且(A-")-" = A, (A')-" =(A-")T.：AA-1 =A-A=I ：:A-可逆证明：且有(A-')-I = A.对AA-=A-A=I，两边取转置得(A-")"A=A"(A-I)= I所以(A")-" =(A")加油！

三、逆矩阵的性质 1 1 1 1 1 1. , , , ( ) , ( ) ( ) . T T T A A A A A A A        若 可逆 则 亦可逆 且 1 1 ( ) ( ) T T T T A A A A I     1 1 ( ) ( ) T T A A   所以  1 1 AA A A I     1 A .   可逆 1 1 ( ) . A A   且有  1 1 AA A A I   对   ，两边取转置得 证明：

2.若A可逆,数0,则A可逆,且（A)-证明：因为 AA-1 = A-A=IA-1)所以A-l)(aA)= 1(AA)即 (αA)-11加油！

证明： 1 1 AA A A I   因为   1 1 1 1 ( )( ) ( )( )   A A A A I     所以   1 1 1 ( ) A A    即    1 1 1 2. , 0, , . A A A A       若 可逆 数   则 可逆 且

3.若A,B均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1 =B-"A-证：(AB) (B-"A-")= A(BB-")A-1 = I: (AB)-I = B-1A-1推广：n阶矩阵A,A，,A,都可逆，则AA,…A,可逆，且(AA, .. A,)-I = A}I... A}"A-加油！

  . 1 1 1  AB  B A 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , s s s s n A A A A A A A A A A A A      推广： 阶矩阵 ， 都可逆,则 可逆， 且（ ） 1 1 1 1 AB B A A BB A I ( )     证： ( )( )  1 1 1 3 . , , , ( ) A B AB AB B A    若 均 可逆 则 亦可 逆 且 

例 设B2=B，A=I+B，证明：A可逆且 A-1[ + B)-(I + B)A2 = A(31-A) -号A证.33(122+2B+B2B22233B2222A 可逆且加油！

例证   2 1 1 , 3 . 2 B B A I B A A I A  设      ，证明 ： 可逆且   1 3 1 2 3 2 2 2 A I A A A              3 1 2 2 2     I B I B   3 3 1 2 2 2 2 2 2      I B I B B 3 3 1 1 2 2 2 2 2      I B I B B   1 1 3 . 2 A A I A  可逆且    I

例设方阵满足方程A2-3A-10I=0证明：A和A－4I都可逆，并求出它们的逆矩阵(A-3E)证: A(A-3E)=10110所以A可逆，且A-1A-31)10A+1(A-4I)(A+ I)=61(A-416所以A可逆，且A-1加油！

例 设方阵满足方程 证明: 4 A A I 和  都可逆，并求出它们的逆矩阵 2 A A I    3 10 0 证： ( 4 )( ) 6 A I A I I    A A E I ( 3 ) 10   1 1 ( 3 ) 10 A A A I  所以 可逆，且   ( 3 ) 10 A E A I   1 1 ( ) 6 A A A I  所以 可逆，且  ( 4 ) 6 A I A I I   