《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第五章 二次型_5.2 正定二次型

第五章二次型第二节正定二次型C=a2、正定二次型的概念Carb=(a+b）二、正定二次型的判定三、负定二次型的概念数二（和十）长人

第二节 正定二次型 第五章 二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 一、正定二次型的概念

一、正定二次型的概念

一、正定二次型的概念

、正定二次型的判别充分性：即二次型证定

二、正定二次型的判别 充分性 : 即二次型f正定

必要性(反证法）推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正

必要性(反证法) 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正

证:特别注意：反之，结论不成立-10A0-1

证：

设A为n阶对称矩阵，由A的前k行前列元素构成aaika12a21a22a2k的阶行列式ak1ak2Ckk称为矩阵A=(a）的k阶顺序主子式

2é3oie以P,记它的顺序ue4解：二次型的矩阵为A主子式，则060-25 =8>0,P =A}=28>0=3>P由定理5.6.2知，正定

解:二次型的矩阵为 以Pk记它的顺序 主子式，则 由定理5.6.2知，f正定

2é- 52 ieu20- 6二次型的矩阵为 A0,P =A=-80<02- 6由定理5.6.2知，f不是正定的

二次型的矩阵为 它的顺序主子式： 由定理5.6.2知，f不是正定的

线性代数第二节正定二次型例2 f(x1,x2,x)=x2+ 4x2 +2x+2tx2 +2 x3,t为何值时，f为正定二次型？P=1>010ad1解A中=4-t?>0需：220PA=4-22>0i4-2t2>0-V20所以，当-V<1<V2 时,f为正定次型高教育出服社11新时代大学数学票利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 2 + 4x2 2 + 2x3 2 + 2t x1x2 + 2 x1x3, t 为何值时，f 为正定二次型？ 解 需 所以，当 时, f 为正定次型

线性代数第二节正定二次型f(X=XTAX为正定二次型口A为正定矩阵定理4对于实对称矩阵A，以下命题等价：(1）A为正定矩阵：(2)A的特征值全为正实数；(3)A与单位矩阵合同；（4）A的各阶顺序主子式全大于零高教育出社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 f (X) = X TAX 为正定二次型 ￾ A 为正定矩阵. 定理4 对于实对称矩阵 A，以下命题等价： (1) A为正定矩阵； (2) A的特征值全为正实数； (3) A与单位矩阵合同； (4) A的各阶顺序主子式全大于零