《高等数学》课程教学资源（知识拓展，数学竞赛8讲）第05讲 一元函数积分学及其应用

设g在[0,a]上连续，f二阶可导，且f"(α)≥0，证明课前练习：Fa(t)dtf(s(t)dt ≥f/ /【2018年第十届全国初赛非数学类】六（14分）证明：设连续函数f（α）>0，有In ff(a)da ≥ f'lnf(a)d c

讲座开始前练习参考解答课前练习：设在[0,al上连续，f二阶可导，且f"α)≥0，证明：J"f(t)dt ≥ ↑(, J"s(t)dt)aakak【参考证明]:设T为[0,a]的n份均分割,则分点为,k=0,1,.",n,即ak由nnf"(α）≥0知f是凸函数（凹曲线)，故由琴声（Jesen）不等式中，令入=二，则n(()(s(a)即(a)((a)%由于f,在[0,a]上都可积，且f连续，故在上式中令n→8，得()dt≤"[(t)dt

讲座开始前练习参考解答

第5讲一元函数积分学及其应用李海玲山东理工大学

第5讲 一元函数积分学及其应用 山东理工大学 李海玲

不定积分计算的一般思路三定积分的概念、性质及其应用变限积分函数的性质及相关问题求解四定积分计算的一般思路二五定积分常见几何应用与物理应用六、反常积分及其敛散性的判定

l 一、不定积分计算的一般思路 l 二、定积分的概念、性质及其应用 l 三、变限积分函数的性质及相关问题求解 l 四、定积分计算的一般思路 l 五、定积分常见几何应用与物理应用 l 六、反常积分及其敛散性的判定

主题非数学类初赛和决赛数学类初赛和决赛3+4不定积分的计算9+69+7定积分的概念、性质应用26+7变限积分9+34+3定积分的计算12定积分几何应用与物理应用9+27+6反常积分

主题 非数学类初赛和决赛 数学类初赛和决赛 不定积分的计算 3+4 定积分的概念、性质应用 9+6 9+7 变限积分 6+7 2 定积分的计算 9+3 4+3 定积分几何应用与物理应用 2 1 反常积分 9+2 7+6

、不定积分计算的一般思路1第一类换元法和分部积分法0f ()dx = 0 u (x)v (x)dx第一类换元法= 0 u(c)dV ()= 0g ()iV (0)ogOdi令V(x) = t分部积分法= u (x)y (x)- 0V ()du (c) = u (x) ()- 0V()uc(r)dxoe' cost dt = o cos t de' = e' cost + oe' sint dt e' cost + O sint det = e' cost + e' sint - oe' cost dte' (cost + sinl)+ Cp oe' cost dt =2

一、不定积分计算的一般思路 第一类换元法 分部积分法 l 第一类换元法和分部积分法

、不定积分计算的一般思路1第一类换元法和分部积分法0f ()dx = 0 u (x)v (x)dx第一类换元法= 0 u(c)dV ()= 0g()IV (c)0gdi令V(x) = t分部积分法= u ()y ()- 0V (x)du () = u (x)v ()- 0V (x)uc(r)dxe2"(tan a + 1) da = fe2*(sec? α + 2 tan a)dae?* d tan a + 2 f e2 tan adae? tan a d a= e2" tan a - 2 / tan ae2* da + 2=e2 tan +C

一、不定积分计算的一般思路 第一类换元法 分部积分法 l 第一类换元法和分部积分法

不定积分计算的一般思路第二类换元法三角代换：被积式中有x2+a2，22Va通常分别令x=atant,x=asect,x=acosta+aXx1x2ATaa根式代换：令t=Vax+b1令倒代换：t指数、对数代换：被积式中有o loga x (Inx)令a*= t,e = t, log, x = t, Inx = t

一、不定积分计算的一般思路 l 第二类换元法 三角代换：被积式中有 通常分别令 倒代换： 令 指数、对数代换： 被积式中有 令 根式代换： 令

不定积分计算的一般思路基本计算方法线性运算性质、基本积分公式特定结构的不定积分①有理函数积分：拆分为最简部分分式积分1dx,odx,odx,odxax+b2①三角函数积分：统一三角函数名称的方法三角函数的万能公式法xxtan2x1-2tan2 tan222sinx :tanxcos.x2X1 + tan?xtan?x1 -1+ tan222

一、不定积分计算的一般思路 l 基本计算方法 线性运算性质、基本积分公式 Ø 有理函数积分：拆分为最简部分分式积分 Ø 三角函数积分：统一三角函数名称的方法 三角函数的万能公式法 l 特定结构的不定积分

、不定积分计算的一般思路①包含特殊函数的不定积分：绝对值函数最值函数、符号函数等真题解析在线课程0 1-xdx, 0 max[x",x3,1]dx被积函数包含非负整数n：2sinnxdx(n 3 2),In.k = 0x"ekx dx(n 3 0,k 1 0)sinx思路参考2010第二届第3题S被积函数包含导数乘项：已知f(2)=,f(2)=0及f(α)d=1,求α"f"(2a)da①被积函数包含导数乘项：2019第十一届第2题da设y=y(α)由方程y"(α一y)=α"确定，求2

一、不定积分计算的一般思路 Ø 包含特殊函数的不定积分：绝对值函数、最值函数、符号函数等 Ø 被积函数包含导数乘项： Ø 被积函数包含导数乘项： 思路参考2010第二届第3题 2019第十一届第2题 在 线 课 程 真 题 解 析