《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.5广义积分

5.5广义积分无穷区间上的广义积分01无界函数的广义积分02

1 01 无穷区间上的广义积分 02 无界函数的广义积分 5.5 广义积分

课前导读对被积函数和积分区间都有要求.定积分是有限区间(1)积分区间为在上是有界的，一般还要求是连续的(2)被积函数然而在实际问题中，往往会遇到不满足上述条件的情形例如将火箭发射到远离地球的太空中去，要计算克服地心引力所作的功，这就需要考虑积分区间为无限的积分，因此有必要推广定积分的概念，即把积分区间扩展到无穷区间.比如：或或者被积函教在积分区间内是无界

课￾￾￾前￾￾￾导￾￾￾读 2

一、无限区间上的广义积分先看几个定积分：

3 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分L定积分的几何意义是在对应区间上曲边梯形面积的代数和现在我们让对应的定积分的极限

4 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分与yxx曲线轴，轴正半轴所围"的图形可以向L，对应的积分极限存在：而曲线x且有“有限”面积-x所“围"的图形也可以向轴正方向无限延伸，同时面积也无限增大、故对应的极限不存在这就是我们这一节要讨论的广义积分的“几何意义”“下面给出广义积分的定义11x1+x2I--X1bx0012b

5 一、无限区间上的广义积分 y y= 1 1+x 2 1 b x O y O 1 2 b y= 1 x x

一、无限区间上的广义积分生连续，取在区间设函数im定义b存在，则称此极限为函数在无穷区间记作收敛，如果这个极限不存在，则称广义积分这时也称广义积分Axx发散

6 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分从定义中看出一个广义积分化为计定积分与取极限两部分,这都是我们熟悉的知识；同时必须对任意一种走是任意取的，因此方式都成立收敛时表示一个数，而当广义积分当广义积分XX发散时,仅是一个符号

7 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分或上的广义积分同样可以定义区间LEUu上连续，取在区间设函数定义?aIX存在，则称此极限为函数在无穷区间记作收敛如果这个极限不存在，则称广义积分这时也称广义积分xx发散

8 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分均收效，在区间设函数定义3若在无穷区间则称上述两广义积分之和为函数记作即收敛，否则就称广义积分也称广义积分

9 一、无限区间上的广义积分

一、无限区间上的广义积分均存在，则如果NN若则记则广义积分可表示为

10 一、无限区间上的广义积分