《高等数学》课程教学资源（知识拓展）一元函数微积分疑难问题选讲_一元函数微积分疑难问题选讲

一元函数微积分疑难问题选讲

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一元函数微积分疑难问题选讲第一讲一元函数微分学及其应用

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 第一讲 一元函数微分学及其应用

一元函数微积分疑难问题选讲问题1.导数概念的本质及在科学技术中的含义Dyf(xo +Dx)- f(xo):lim一f '(xo)= limDxR 0 DxDxDxR 0平均变化率Dy=常数对于均匀变化量(Dx任一点x的变化率一Dy对于非均匀变化量JimDx? 0 Dx导数fαx)刻画了非均匀变化量在Ex.处的变化率；导数是研究均匀变化的除法在研究相应的非均匀变化问题中的推广和发展

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 问题1. 导数概念的本质及在科学技术中的含义 平均变化率 对于均匀变化量 任一点 x0 的变化率= 导数是研究均匀变化的除法在研究相应的非均匀变 化问题中的推广和发展. 对于非均匀变化量

一元函数微积分疑难问题选讲问题2.如何理解导数与微分的局部线性化思想？（1）导数概念中的局部线性化思想平均变化率f(x。 + Dx)- f(xo)f '(xo)= limDxDx 0微小局部以匀代非匀，即局部线性化Dm+ DxXoxo例如：质量非均匀分布细棒上点xo处密度归结为质量函数m=m(x)在x处的导数dmDmm(x + Dx)- m(x)limr (x.) = linDrR 0DxDx?DxdxIxe平均密度

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 问题2.如何理解导数与微分的局部线性化思想? （1）导数概念中的局部线性化思想 例如：质量非均匀分布细棒上点 x0处密度归结为质量函数m=m(x) 在x0处的导数 微小局部以匀代非匀，即局部线性化. 平均密度 平均变化率

一元函数微积分疑难问题选讲（2）微分与局部线性化若f在x,处可微，则Dy=df(x）+o(Dx)即f(x)- f(x)= f'(x)(x- x)+o(x- x)用微分近似代替改变量，得下面近似公式f(x) 》 f(x)+ f'(xo)(x - xo)线性函数在x的小邻域内用微分近似代替改变量，(xo, f(x))本质上就是用线性函数近似代替非线性函数；在几何上就是用直线近似代替曲线。局部线性化思想切线是对曲线的最佳局部线性逼近吗？

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 （2）微分与局部线性化 线性函数 用微分近似代替改变量，得下面近似公式 在x0的小邻域内用微分近似代替改变量， 本质上就是用线性函数近似代替非线性 函数；在几何上就是用直线近似代替曲 线。 局部线性化思想 切线是对曲线的最佳局部线性逼近吗？

一元函数微积分疑难问题选讲定理：过点(xof(x)的任一设y=f(x)在x.处可微，直线方程为：y=f(x)L(x)= f(x)+k(x- xo) k 1 f'(x)切线曲线y=f(x)在点(xo,(xo))的切线方程为：(xo, f(x)l(x)= f(xo)+ f(xo)(x- x) k1 f'(xo)则必存在d>0,使得"x1U(x,d),恒有f(x)- I(x)<f(x)- L(x)分析f(x)- f(x)= f'(x)(x- x)+o(x- xo)lima ? 0f(x)= f(x)+ f'(x)(x- x)+ a (x- x)XX0

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 定理：设y=f(x)在x0处可微， 过点(x0 , f(x0 ))的任一 曲线y=f(x)在点(x0 , f(x0 ))的切线方程为： 切线 直线方程为： y=f(x) 分析

一元函数微积分疑难问题选讲证明：根据导数定义，有f(x) = f(x)+ f(x)(x - xo)+a (x)(x- x)其中lim a (x)=0.从而有x?xof(x)- I(x)|=a (x)x- xof(x)- L(x) =f'(x)+a(x)- kl(x- x,)因为lim f(x,)+a(x)- k|- la(x)=f'(x)- k>0xXo由保号性知，必存在d>0,使得"xi U(xo,d),有f'(x,)+a(x)- k>a(x)f'(x)+a(x)- kx- x>a(x)x- x于是有即证毕f(x)- L(x)≥f(x)- I(x)

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 证明： 根据导数定义，有 从而有 证毕

一元函数微积分疑难问题选讲问题3.下面几个表达式能否作为导数的定义？X(A)limnf(x=)f(x)存在:反例nnx3 0,i x.f(x x) f(x)f(x) =存在;1- 1.limX(B)x<0x00x1ix,f(x。 x) f(xo(x)存在;f(x)=limX(C)-<x=01.2xx0f(x。 (x)) f(x)f(x) f(xox(D)limlimx0xx0Ixf(x。 x) f(x)f (x) lim导数定义xx0

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 × 问题3.下面几个表达式能否作为导数的定义？ × × √ 反例 导数定义

一元函数微积分疑难问题选讲问题4.与导数概念有关的两个值得注意的问题初学者由于对导数概念理解不深，常常在学习中犯一些错误，下面两个问题都与导数概念有关（1）函数在某一点可导能保证它在该点的某一邻域内也可导吗？答不能。例如函数x为无理数I(t)= t,^ 0,x为有理数仅在x=0处可导，在任何x10处均不可导

一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 问题4. 与导数概念有关的两个值得注意的问题 初学者由于对导数概念理解不深，常常在学习中犯 一些错误，下面两个问题都与导数概念有关. （1）函数在某一点可导能保证它在该点的某一邻域 内也可导吗？ 答 不能. 例如函数