《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.3第二换元积分法

高等数学（上册）（慕课版）第四章不定积分第三讲第二换元积分法主讲教师人民邮电出版社RISSAHTOTRES

主讲教师 | 第三讲 第二换元积分法 高等数学（上册）（慕课版） 第四章 不定积分

OOA第三讲第二换元积分法设x=y(t)是单调的可导函数，且yt)10,定理4.4又设fv()t)的一个原函数为F(t)，则of(x)dx=F [v -(x)] +C,该公式称为第二换元公式一般地，求积分of(x)dx时，如果设x=y（)，且x=y（)满足定理4.4的条件，根据第二换元公式求积分的过程如下：x=y (0) O d-F0)+ ()+.of(x)dx

第三讲 第二换元积分法 2 定理4.4

?第三讲第二换元积分法注1.换元积分法在进行换元后，都需要还原为原变量的函数2.第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式，且无法用直接积分法和第一换元法计算的题目

第三讲 第二换元积分法 3 注

OOAO第三讲第二换元积分法求oVa2 - x°dx (a>0).例令x=asin (-t1),则dx=αcosid ,于是有o解OI + cos 2toVa-xdx=oacos xacosid=a'ocos'I dt=a'odt2sin2ta(t + sinI cost)+C.42为了将上式结果还原为原来的变量，引入一辅助直角三角形，如图所示：x1因为x=asint，所以sint=costf = arcsinaaaaxxx所以 Vα2-xdxarcsin22aJa-x

第三讲 第二换元积分法 4 例 1 解 a a 2 - x 2 t x

A第三讲 第二换元积分法列dx (x > 0)O)，则dx=acosqdq，于是有=asing(-解法一福2acosqxacosq dq=2ocot'q xcscq ddxa'sin'qd(cotq)=cot+(3a0.C.+(-r一3a3axx0

第三讲 第二换元积分法 5 例 2 解法一 a a 2 - x 2 x

>个第三讲 第二换元积分法本题除了可以用三角代换求解之外，还可以用倒代换解法二福1dt，于是有设x=Va'f?- Idild(at - D)=a-1)2+（30xa+C.3a2x3

第三讲 第二换元积分法 6 解法二

COAM第三讲第二换元积分法求不定积分时，要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简单的代换另外，在基本积分公式中，再添加几个常用的积分公式（其中常数α>0）1dx = arcsin =+C:14.arX15.+CYarctan.+XaOa+xFC16.002a-Xa-x17.dan xdx =- In | cosx | +C;18.ocot x dx= ln sin x +C;

第三讲 第二换元积分法 7

OA第三讲第二换元积分法19.osec xdx = In sec x + tan x+C:20.oesc x dx = In csc x - cot x |+C;121.0dx = In x+Vx2±a?+C±aarXVa?- x? +C.Ya?- x'dx22.0+arcsin22a8

第三讲 第二换元积分法 8

O?第三讲第二换元积分法arctan x求dr+Xarctanxdxo解O1+x Carctan x d(arctan x)(arctan x)? +C.2S

第三讲 第二换元积分法 9 例 3 解

?第三讲第二换元积分法dx求0证令x=u则dx=6udu.于是有Odx6u+Lddu=D1 +u01ddu=3u2-6u+6ln|I+u +COru1+uo=3/x-6/x+6ln1+/x+C

第三讲 第二换元积分法 10 例 4 证