《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.1定积分的概念与性质

5.1定积分的概念与性质01定积分的概念02定积分的几何意义03定积分的性质

01 定积分的概念 02 定积分的几何意义 03 定积分的性质 1 5.1 定积分的概念与性质

OOAO问题引入定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.不定积分侧重于基本积分法的训练，而定积分则完整地体现了积分思想一一种认识问题、分析问题解决问题的思想方法.定积分起源于两个经典问题引例1（求曲边梯形的面积）yy f(x)A=?ab0x

问题引入 2 定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.不定积分侧重于基本 积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想—一种认识问题、分析问题、 解决问题的思想方法. a b x y o 引例1 （求曲边梯形的面积）

问题引入以直代曲用矩形面积近似取代曲边梯形面积21bab0xolx（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积

问题引入 3 a b x y a b x o y o 以直代曲 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

?问题引入XolaxX1 X, x,b这样，把曲边梯形分割为n个窄曲边梯形；

问题引入 4 这样，把曲边梯形分割为n个窄曲边梯形；

OA问题引入（③）曲边梯形面积的近似值为olbYaXixxx曲边梯形面积为A limf)x00ill

问题引入 5 (3)曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

OA问题引入引例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度(t)是时间间隔[T,]上t的一个连续函数，且v(t)口0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：以不变代变OT,=totitz...5it;t, =T,ti-l（1）把整段时间分割成若干小段，（2）每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，（3）最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值

问题引入 6 引例2（求变速直线运动的路程） 思路：以不变代变 （1）把整段时间分割成若干小段， （2）每小段上速度看作不变，求出各小段的路程 再相加，便得到路程的近似值， （3）最后通过对时间的无限细分过程求得路程 的精确值．

OA问题引入Ttot,t,OOt,gt,T(1)分割(2)近似(3)求和(4)取极限max,t,t,,路程的精确值

问题引入 7 (1)分割 (2)近似 (4)取极限 路程的精确值 (3)求和

OA问题引入nA=lima f (x)Dx1R0i=1nS= lima v(x,)Dti10i=18

8 问题引入

O?0一、定积分的概念定义5.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b] 内任意插入n-1个分点a=x<x<L <x.-1<x,=b,将区间[a,b]分成n个小区间[x-1,x,](i=1,2,L，n)，每个小区间的长度记为Dx=x-x(i=1,2,L,n)，在每个小区间上任取一点x,i[x-,x]，作乘积f(x)Dx，a f(x,)Dx,再求和记l=maxDx!，取l?0时上述和式的极限tnlima f(x,)Dx,如果该极限存在，则称函数f(x)在区间α.b]上可积，此极限值为函数f(x)在区间[a.bl上的定积分，记作0f(x)dr9

一、 定积分的概念 定义5.1 9

OAA一、定积分的概念即f(x)dx= lima f(x,)DxLRO其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积表达式，「a.b称为积分区间，α称为积分下限，b称为积分上限，af(x)Dx称为f(x)在[a,b]上的积分和注：1.定积分f(x)dx是一个数值，它只与被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关，而与积分变量的符号无关，即o.f(x)dx=o.f(t)di=o.f(u)du2.定积分存在，与区间的分法和每个小区间内的选取无关

一、 定积分的概念 2. 定积分存在，与区间的分法和每个小区间内ᵰ的选取无关 ᵰ . 10