《高等数学》课程教学资源（知识拓展，数学竞赛8讲）第08讲 无穷级数

1单调递增练习题1：设f(a)是在(a,+)(a>（单调递增且大于0的连续函数a收敛且大于零，证明：若da收敛，则级数af(a)Q+n=u1收敛练习题2：设「u是单调增加的正项数列，试证明级数un+1un=1n+1非数学类决赛：5个非数学类初赛：8个5个数学类数学类初赛：决赛：3个

非数学类初赛： 8个 非数学类决赛：5个 数学类初赛： 5个 数学类 决赛： 3个

【第十三届初赛非数学类题】（第六题）设【α|与【b,均为正实数列，满足：α,=b，=1且bn=anbn-1-2,n=2,3,.801又设[b,】为有界数列，证明级数收敛，并求该级数的和n=iaa.an【第十届初赛非数学类题】（第七题）已知[α}，[b}是正数数列，且ba+1—b,≥>0,k=1,2,，为一常数.b.b....bt00tokiaa...证明：若级数%，收敛，则级数之收敛be+1bkk=ik=18ao设。an和(第七题）b为正项级数【第四届初赛非数学类题】n=1n=l8a.1Z(1)若lim>0.则收敛；a.bn+1)an+1bnn→n=18081an(2)若 lim<0且b，发散，a.发散则1bn+1)n+bnn→1n=ln=1第二届初赛第四题，第五届、第十二届初赛第七题

第二届初赛第四题，第五届、第十二届初赛第七题

第8讲无穷级数李海玲山东理工大学

第8讲 无穷级数 山东理工大学 李海玲

常数项级数敛散性的判定一一函数项级数与幂级数的收敛域与和函数二三函数的幂级数展开及其应用四、傅里叶级数及敛散性的判定

l 一、常数项级数敛散性的判定 l 二、函数项级数与幂级数的收敛域与和函数 l 三、函数的幂级数展开及其应用 l 四、傅里叶级数及敛散性的判定

常数项级数敛散性判定的一般思路与方法常数项级数Z=1an收敛性判定思路与过程否必要条件liman=0？发散m是q"=1+q+q+..+q"-|+=g几何级数n=0正项级数？[ql1收敛,0<p≤1发散n=inu根值法limnan=pn-821=1+1+1+1++=e贝旦口2!3!n收敛比较法发散不确定

一、常数项级数敛散性判定的一般思路与方法 否 收 敛 正项级数？ 发 散 是 是 比值法 根值法 ᵼ ᵼ 不确定 ᵼ= ᵼ 比较法

常数项级数敛散性判定的一般思路与方法常值级数Z=1an收敛性判定思路与过程sinda不是绝对收敛的否解答题第2题：证明反常积分必要条件liman=0？发散a0级数法【分析】第三步：根据确定思路，判定得出结论是关键：选择合适的区间长度，将无穷限的反常积分写成无穷多个区间长度相同的子区间上的定积分之和，构建一个无穷级数正项级数？sinzsinac2xsin2c(s+1)xsin ada+da+Jkna是sinae[k+1]n(k+1nk+1smzsinadada[k+1]元(k+1xJkan+1sinada比值法limO(k+1)元Jn-00an(k+1]元根值法lim"an=p第五届解答题第2题n-0口A口失败部分和数列有界比较法收敛发散不确定定义法、积分法

一、常数项级数敛散性判定的一般思路与方法 否 收 敛 比较法 正项级数？ 发 散 是 是 比值法 根值法 ᵼ ᵼ 不确定 ᵼ= ᵼ 失败 部分和数列有界 定义法、积分法 第五届解答题第2题

常数项级数敛散性判定的一般思路与方法常值级数Z=1an收敛性判定思路与过程否必要条件liman=0？绝对收敛发散n是否否ae正项级数交错级数？正项级数？+oa()是>0,aan+1是条件收敛比值法lim二pn-00an是莱布尼兹判别法收敛根值法lim"an=pn-0口贝口失败部分和数列有界收敛比较法发散不确定定义法、积分法

一、常数项级数敛散性判定的一般思路与方法 否 收 敛 比较法 正项级数？ 发 散 是 是 比值法 根值法 ᵼ ᵼ 不确定 ᵼ= ᵼ 失败 部分和数列有界 定义法、积分法 否 交错级数？ 是 莱布尼兹判别法 是 收 敛 否 正项级数 绝对收敛 条件收敛 ᵼᵼ ↘ᵼ

常数项级数敛散性判定的一般思路与方法练习题1：设f(α)是在(a,+o)(α >0)单调递增且大于0的连续函数，an单调递增X1aX收敛d&收敛，则级数且大于零，证明：若>af(ac)aan=1【提示) f(x)> 0 f(x)z ;α,> 0anz:0-Bons11aa(a)ta)a-1吉f (anf (aa.n++11an+ 11an+1dxtdx00an+yf (an+i)xf(x)aanan+1aN+1E8oaFdxdx00xf(x)xf(x)(11an1=1

一、常数项级数敛散性判定的一般思路与方法 【提示】

常数项级数敛散性判定的一般思路与方法通项由两数列关系式确定级数收敛性的判定与和的计算练习题1:设f(α)是在(α,+oo)(α >0)单调递增且大于0的=1,b=agbn-1-2,(b)为有界数列题月：0baaa.a1(4-1-A)(n≥2).a.且大于零，证明：若da收敛，则级数Jaf(c)(A-1-A.)=1+(4-AN)=-↓4ISSNn=1aalimlim A:lim0,o--a,21+21+-1+（是单调增加的正项数列，试证明级数练习题2：设了u由夹逼准则：得limA=0n=（第十三届初赛非数学类题）（第六题）0euu1【提示】0uLUn+iVun+1+u+:-1-1-2+

一、常数项级数敛散性判定的一般思路与方法 【提示】 【第十三届初赛非数学类题】(第六题)

函数项级数与幂级数的收敛域与和函数1、收敛域的求解思路与方法函数项级数u，（α）收敛域计算的一般思路与步骤2、阿贝尔定理(1)若幕级数Z=。akx在点x=a(a±0)处收敛，则（1）利用比值判别法或根值判别法求收敛区间它对于满足不等式|xa'的一切x都发散（2）利用常值敛散性判别法判定收敛区间端点的收敛性(3)收敛域=收敛区间+收敛的端点幂级数aa"a≠0)收敛域计算的一般思路与步骤：n=00(1）求收敛半径R得到收敛区间(-R,R)：R=limn→xun+（2）判断收敛区间端点的收敛性（3）收敛域=收敛区间+收敛的端点

二、函数项级数与幂级数的收敛域与和函数 1、收敛域的求解思路与方法