《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）课本的扫描版_第五章

第五章二次型二次型的理论与方法在数学、物理学和工程中都有广泛的应用。本章着重讨论实二次型的标准形与正定性5.1实二次型及其标准形二次型及其矩阵表示在平面解析几何中，二次方程az2+2bary+cy?=d表示一条二次曲线.为了便于研究该曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度e，作坐标变换=a.coso-ysingy=r'sing+ycoso,将二次方程化为只含平方项的标准方程a2+by=d.由α和b的符号很快能判断出此二次曲线表示的是椭圆或者双曲线上述二次方程的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点来看，就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式化为只含平方项的多项式。这样的问题，在许多理论问题或实际应用问题中常会遇到.现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的问题，定义1n元二次齐次多项式f(r1,t2,.,an)=az+2a1221a2+...+2a1niam+a22r2+...+2a2n2m+.+annc?称为n元二次型，简称为二次型若二次型中的系数auR(i≤j,,j=1,2,,n)，则称二次型于为实二次型；若ajEC，则称二次型为复二次型，本章只讨论实二次型

第五章二次型182若令a钙=a（元,5=1,2,.，n)，则二次型可记为f(122,an)=ai1a+a12t1r2+.*.+a1na1n+a217221+a2222+.+a2n2n++an1ani+an2anT2+.+anna?agtidj令Caira12a1l&2a2na21a22xA=目++*.4Cnani)an2ann则二次型可表示为f(X)=XTAX (AT=A).e这一形式称为二次型f(11，12，，an）的矩阵形式，实对称矩阵概念解析二次型与对称矩阵A称为二次型f(X）的矩阵显然，二次型与其矩阵是互相惟一确定的，以后在实二次型的矩阵表达式f(X）=XTAX中都假定A是实对称矩阵二次型f(X）=XTAX的矩阵A的秩称为二次型f(X）的秩，例如，二次型f(t1,2,t3)=2+421261+22322-3C1-2-12=(1,22,3)T10-3T322-32112这个二次型的矩阵是A=1210-32号故A的秋为3,所以于(21,2,3)的秩也是3.由于detA=对于元二次型(a1,2,，n）变换Ti=C113+C129/2+...+Cinyn,T2=C2191+C2292++C2nYn,An=Cniy1+Cn2y2++CnnYn

5.1实二次型及其标准形183称为从91,92，，9n到a1,a2,，n的线性变换.若线性变换的系数矩阵可逆，则称为可逆线性变换aiculC12Ciny122C21C2292C2n令X=Y则线性变换可记为国...anCn2CnlCanYnX=CY.将n元二次型f(X）=XTAX作可逆线性变换X=CY，则f(X) = (CY)"A(CY)=YT (CAC)Y令B=CTAC,则f(X)=YTBY=g(Y)二次型f(X）=XTAX通过线性变换X=CY后变成一个新二次型g(Y）=YTBY，这两个二次型的系数矩阵A与B的关系是B=CTAC.定义2设A.B为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得e概念解析B=CTAC,矩阵等价、矩阵相似、矩阵合同则称A与B合同.矩阵之间的合同关系具有以下性质：1°反身性任何n阶矩阵A都与自身合同；2°对称性若A与B合同，则B与A合同：3°传递性若A与B合同且B与C合同,则A与C合同这些性质的证明留给读者可逆线性变换X=CY把二次型f（X）=XTAX变为二次型g(Y）=YTBY这两个二次型的矩阵A与B合同，即B=CTAC,故 A与B的秩相同.因此f(X)与g(Y）的秩相同。所以可逆线性变换不改变二次型的秩.012例1设矩阵A求实可逆矩阵C.使CTAC=B00解矩阵A对应的二次型是f(i,2)=XTAX=-矩阵B对应的二次型是g(y1,y2)=YTBY=-2yr+y2作可逆线性变换1=0y1+92,22=V2y1+0y2

184第五章二次型即令矩阵且X=CY,则f(a1,r2)与g(J1,y2)的矩阵之间的关系为C"AC=B.二、用配方法化二次型为标准形在各种二次型中，平方和形式dyi+daye++dny.无疑是最简单的.下面我们将介绍，任何一个二次型f(X）=XTAX都可以通过可逆线性变换X=CY化为平方和形式，这种平方和形式的二次型称为标准形定理1任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形利用配方法和对变量个数n使用归纳法可证明这个定理（证明从略）下面通过具体例子说明怎样用配方法化二次型为标准形例2用配方法化二次型f（12,3）=2+2+5+22122+221+6223为标准形.解f(11213)=（++3+2112+2113+22213)++43+4243=(1+a2+3)2+(2+223)3,作线性变换=r+2+3U12+2x3,92=3313,则于（r122,3）的标准形为f=妮+若用9/1,9293表示T1,22,23，则上述线性变换又可表示为21=91-92+9/3,922y3:32=93C3记1A91LC019200A93则上式又可记为X=CY，即二次型f(t1,a2,r3）通过可逆线性变换X=CY变为标准形于=妮十妮例3用配方法化二次型f(1,±2,13)=21132+2113-6F23为标准形

5.1实二次型及其标准形185解作线性变换21=91+y22=91-92C3=93+则f=2(y1+y2)(y1-/2)+2(91+y2)93-6(31-92)y3=2y-2y2-4y193+8y293=2（斤+奶-21y3）-2y2-29#+8y2/3=2(g1-y3)2-2(g2+4y3-4y29/3)+6y3= 2(y1-y3)2-2(y2-2ys)2 + 6y3再作线性变换21=31-93,92-2y3,22=23-U3,则F=22-223+623(5.1)如果再令ti=V2z1ta=V6z3,tg=V222,则于=午+场-(5.2)式（5.1）与式（5.2)所表示的二次型都是f(21,22,t3）的标准形.由此可见，一个二次型的标准形不是惟一的.式（5.2）这样的标准形称为规范形n元二次型的规范形的一般形式为近++%-+1--(r≤n)定理2任何一个二次型的规范形是惟一的我们将这个定理的证明思路叙述如下：二次型f(X）=XTAX可以通过可逆线性变换化为标准形.经过适当的调整，将正项集中在前面，负项集中在后面，表示为如下形式：f(X)=dyi ++dpyp-dp+1yp+1-...-deyz其中rn,d,>0(i=1,2,*r)

186第五章二次型再令=Vdy（i=1,2.r)，则F(X)=+.+22-+1-.-2由于可逆线性变换不改变二次型的秩，故标准形中系数不为零的平方项的项数是惟一确定的.在理论上还可以进一步证明，标准形中正项项数P与负项项数T一P也是惟一确定的，故任一二次型的规范形是惟一的，二次型的标准形中，正项项数p称为正惯性指数，负项项数r一p称为负惯性指数而正负惯性指数的差2p-r称为符号差可逆线性变换不改变二次型的秩与正负惯性指数，而秩与惯性指数在标准形中都是一目了然的，这正是我们要用可逆线性变换化二次型为标准形的目的之一，例4设二次型f(1.23)=+a+a+212-2223-2a113的正负惯性指数都是1，求于(21,22，3）的规范形及常数a.解f(1,2,a3)的规范形为折一.因为f(a1,2,3）的正负惯性指数都是1,所以于(r1,2.3)的秩为2.矩阵1A=1a-0 1的秩也为2.故11-a=-(a- 1) (a + 2) = 01det A-a-11-a解得a=1或a=-2.若a=1.则R(A)=1,与R(A)=2矛盾.所以a=-2三、用正交变换化二次型为标准形若线性变换X=CY中的系数矩阵C是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换对n维实向量α=（a1,a2..，an）β=（b1b2，bm）T，设A为n阶正交矩阵，作正交变换X=Aα,Y=AB.则(X,Y)=(Aα,AB)=(Aα)(AB)=QTATAβ=QTβ=(α,β)即正交变换保持向量内积不变，因此也就保持向量的长度与夹角不变.于是，在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变，而这个特征是一般可逆线性变换所不具备的，这也是我们着重讨论正交变换的目的之一

5.1实二次型及其标准形187设f（X）=XTAX是实二次型，则A为实对称矩阵，由84.4定理3可知，存在正交矩阵C,使CTAC=diag(入1，入2，.，入），其中入1，2，，入是A的全部特征值作正交变换X=CY，则f(X)=YTCTACY=A1+A2y2+..-+An于是，我们已经证明了如下定理：定理3任何一个实二次型都可以通过正交变换化为标准形由以上推导可知，用正交变换X=CY化二次型F(X）=XTAX为标准形的主要工作，在于求正交矩阵C，使CTAC=diag(入1，>2，…，入）这项工作在第四章中已经做了详细的讨论用正交变换化二次型f（X）=XTAX为标准形，平方项的系数刚好是矩阵A的全部特征值，若不计特征值的排列顺序，则这样的标准形是惟一的，例5用正交变换化二次型典型例随精讲f(a1,22,r3)=-2a-20g-4r1a2+4a123+8r2r3用正交变换法化为标准形二次型为标准形解F(1,±2,43)的矩阵为2-2A=-224242入-12-2det(I-A)=2>+2-4=(入—2)2(>+ 7),-2-4入+2特征值入1=2(2重),2=-7.对于入1=2,线性方程组入,I-A)X=0的基础解系为Q1=（-2,1,0),Q2=(2,0,1)T将α1,Q2正交化，有β1= Qr=(-2,1,0)T,a2tβ2= Q2(2,4.5)T:5.5再将β,β2单位化，有110(-2, 1,0)T,Y1V51工72=1313Vs(2.4,5)T对于入2=-7,线性方程组（入2I-A)X=0的基础解系为α3=(1,2,-2)T，将α3单位化，有1(1,2,2)Y3=

第五张二次型188令22113:2-3:2-33V5T914U+3V5V55930C3V5则X=CY是正交变换，且（21，23)=2+2-7%习题5.17(a1+a2+a3)的矩阵1.写出二次型f(a1,32,3)=2.用配方法化下列二次型为标准形：(1)a+4r1a2-3r2r3;(2)++++2212+21223+2324(3)212+2a173-6213.3.确定下面二次型的秩与符号差：Tir2n+a222n-1++*+anEn+1.4.用正交变换化下列二次型为标准形：(1)3r+3r+4r122+8r123+4a23;(2)+-+4r1r3+422135.已知二次型f(r1,12,a)=2+3a+33+2a2223(a>0)通过正交变换化为标准形f=%+2%+5%，求参数a及所用的正交变换矩阵C.6.设有n元二次型f=XTAX.A的特征值入≤入2≤≤入n.证明对任意n维实向量X，有AXTX≤XTAX<AXTX7.设二次型f（X）=f(r1r2r3)=9r+4+3，求f(X）在约束条件XTX=1下的最大值和最小值。8.设A是对称矩阵，且对任意n维向量X，均有XTAX=0.证明A=O9.证明若A.B均为三阶实对称矩阵，且对一切X有XTAX=XTBX，则A=B.10.设C为可逆矩阵，CTAC=diag(di,d2，d），间对角矩阵的对角元是否一定是A的特征值？若成立，证明之：若不成立，举出反例11.设n阶实对称矩阵A的秩为r(r<n)。证明存在可逆矩阵C,使得CAC=diag(d.d2*,d0,.+0)，其中d0(i=12.r)

-5.2正定二次型1895.2正定二次型二次型f(1,12,,n)=a++.+a2(5.3)具有如下特性：对任意一组不全为零的实数a1,a2，·，am，都有f(a1,a2,...,an)=a+a+..+a>0而二次型g(a1,a2,-,an)=a+.+,-+1-...-2a则不具备这样的性质定义1若对任一非零实向量X，都使二次型f(X）=典型例题精讲XTAX>0，则称f(X）为正定二次型，F（X）的矩阵A称正定矩阵的判定为正定矩阵。换句话说，若对任意一组不全为零的实数a1,a2…,an，都使f(a1,a2,…，an）>0,则二次型(21，22，"，n）是正定二次型。例如，式（5.3）所示的二次型就是正定二次型.对于一般的二次型，下面的定理可以判断它是否正定，定理1二次型f(X）=XTAX为正定二次型的充要条件是对称矩阵A的特征值全为正数.证设A的特征值为入1入2，An，则通过正交变换X=CY可将f(X）化为f(X)=A1+A2y2++An=g(Y)充分性：若入1，入2，***，入m全为正数，则对任一非零实向量Y0均有g(Y)>0.故对任一非零实向量X，可得非零实向量Y=C-1X，使f(X）=g(Y)>0，故f(X）是正定二次型必要性：用反证法.设A的某个特征值入，≤0，不妨设入1≤0，则对于Y=(1,0,-,0)T,有X=CY半0而f(X) = 9(Y) => ≤0,这与f(X）是正定二次型矛盾，故入1，入2，，入全为正数由此可得：推论1二次型f(X）=XTAX是正定二次型的充要条件是f(X）的正惯性指数为n.事实上，二次型f（X）通过正交变换可化为标准形入13+>2%++入n元，于是，由定理1可得推论1

第五章二次型790因为可逆线性变换不改变二次型的正负惯性指数，所以可逆线性变换也不会改变二次型的正定性若n元二次型f(X）=XTAX的正惯性指数为n，则其规范形为(5.4)g(Y)=+++=YTIY故A与I合同反之，若A与I合同，则f(X）的规范形必然是式（5.4).于是可得推论2二次型f(X）=XTAX是正定二次型的充要条件是对称矩阵A与单位矩阵I合同有时需要直接从二次型f(X）=XTAX的矩阵A判断f(X）是否为正定二次型为此，我们先引入顺序主子式的概念。定义2对于n阶矩阵A=（ais）nxn，子式aika11Q12.a2ka22a21(k=1,2,.*,n)P=....akkak2a:1称为A的顺序主子式有了这个概念，我们不加证明地给出下面的定理：定理2二次型f（X）=XTAX是正定二次型的充要条件是对称矩阵A的所有顺序主子式全大于零例1二次型f(1223)=+4+4+2tr112-2213+423，当t取何值时，于为正定二次型？111，A的顺序主子式为42星的矩阵为A=解-124Pi =1.-tP2:-11t=-4t2-4t+8=-4(t-1)(t+2)P2+4-124由于P1=1>0.故f正定的充要条件是P2>0且P>0,即4-t2>0,-4(t - 1)(t + 2) > 0