《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第二章行列式_2-4克拉默法则

第二章s4克拉默法则一、伴随矩阵可逆的充分必要条件三、克拉默法则加油！

§4 克拉默法则 第二章 二、可逆的充分必要条件 一、伴随矩阵 三、克拉默法则

引理1行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即,=0 (i±j)aiAj +ai2Aj2 +...+ainAin或=0(i±j)ta.oiAi-n加油！

行列式中某一行（列）的元素与另一行（列） 对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即 1 1 2 2 0 ( ) i j i j in jn a A a A a A i j      或 1 1 2 2 0 ( ) i j j j nj nj a A a A a A i j      引理1

143222-2-1D-1× A, +3× A,+2× A, +4× A9867—一1-25047× A +8× A12 +9× A13 +6× A.768922-21= 08976504-2加油！

11 12 13 14 1 3 2 4 2 2 1 2 =1 3 +2 +4 7 8 9 6 0 4 2 5 D A A A A          11 12 13 14 7 8 +9 +6      A A A A 7 8 9 6 2 2 1 2 7 8 9 6 0 4 2 5    =  0

引理2al(121.伴随矩阵1(2)a222n设A:aan2anlnn称为A的伴随矩阵其中A,是a,的代数余子式2nnn加油！

11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A              称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a              引理2 1.伴随矩阵 其中A a ij ij 是 的代数余子式

例2-110求矩阵A=-2-1的伴随矩阵013Au =1, A2 =6, A3 = -22A*=-36-3A21 = -5, A22 = -3, A23 = 1,-214A31 = -2, A32 = -3, A33 = 4加油！

1 2 1 2 0 1 0 1 3 A               求矩阵 的伴随矩阵. * 1 5 2 6 3 3 2 1 4 A                 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1, 6, 2 5, 3, 1, 2, 3, 4 A A A A A A A A A               例

2-2-111-560-3AA*=-2-1-30341-2122-5-1A*A=6-3-3-20123加油！

* 1 2 1 1 5 2 2 0 1 6 3 3 0 1 3 2 1 4 AA                            * 1 5 2 1 2 1 6 3 3 2 0 1 2 1 4 0 1 3 A A                           

可得：00TAI00[A|AA*=A*A=0只要A≠0，就有A(定理（可逆的充分必要条件）n阶方阵A可逆A0，且A加油！

可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A I A                1 1 * * A A A A A I 0 ( ) ( ) A A 只要    ，就有 定理（可逆的充分必要条件） 1 1 | | 0 | | n A A A A A 阶方阵 可逆    ，且  

1-例设A=1 2求(A*)-11det A=|A|=[12=2331解AA* =(det A)I =|A|I11I2221223222加油！

例 设 解 * 1 1 1 1 1 2 1 , ( ) . 1 1 3 A A             求 * AA A I A I   (det ) 1 * ( ) A A I A  * 1 1 ( ) A A A   1 1 1 det 1 2 1 2 1 1 . 3 A A    111 222 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 222 A                  

求det(2A)"-3A"例设A是三阶方阵，且detA3例设A可逆，B与A是同型矩阵，且AB=A-I+B，证明B可逆620026时，求B当A=002加油！

设A B A A B A B B 可逆， 与 是同型矩阵，且 * 1    ，证明 可 逆 当 时，求 2 6 0 0 2 6 0 0 2 A B            设 是 三 阶 方 阵，且 ，求    1 1 * det det 2 3 3 A A A A  例   例

克拉默法则设n阶矩阵A可逆，则AX=b有唯一解为：det Ai=n1xidet AAdetA,是用b代替detA中的第列得到的行列式baua.j-ar,j+1a11b,a2,j+1a21a2.dani-6"an.j-lan,j+1n1加油！

设n阶矩阵A可逆，则AX=b有唯一解为： detAj是用b代替detA中的第j列得到的行列式 det , ( 1, ., ) det j j j A A x j n A A    11 1, 1 1 1, 1 1 21 2, 1 2 2, 1 2 1 , 1 , 1 2 j j n j j n j n n j n n j n a a b a a a a b a a A a a b a a        1 1 2 2 . j j n nj     b A b A b A 克拉默法则