《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第五章二次型_5-2 正定二次型

第五章S2正定二次型正定二次型的概念二、正定二次型的判别加油！

§2 正定二次型 第五章 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判别

一、正定二次型的概念定义1如果对任意n维列向量X≠0都有f =XTAX>0,则称f =XTAX为正定二次型并称实对称矩阵A是正定矩阵加油！

0, 0, , 1 T T n X f X AX f X AX A     如果对任意 维列向量 都有 则称 为 并称实对称矩阵 定义 是 正定二次型 正定矩阵 一、正定二次型的概念

二、正定二次型的判别定理1二次型f =XTAX为正定二次型的充分必要条件是对称矩阵A的特征值全为正数证：设A的特征值为，，，n则二次型f=XTAX经正交变换X=CY化为f = ay? +ay?+...+any?充分性：若,>0(i=1,2,,n)，对于任意的X 0，则有Y=C-IX± 0故 f(X)= f(CY)= ay? + 2,y +...+ a,y, > 0即二次型征定。加油！

二、正定二次型的判别 1 T f X AX A 二次型  为正定二次型的充分必要条件 是对称矩阵 的特征 定理 值全为正数 1 2 2 2 2 1 1 2 2 n T n n A f X AX X CY f y y y             证:设 的特征值为 ， ， ， ， 则二次型 经正交变换 化为 充分性 : 1 0( 1, 2, , ) 0 0 i i n X Y C X        若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y          即二次型f正定

必要性(反证法）假设存在某个2.≤0，取Y=e.(单位向量)当X =Ce.±0,则有f(X)= f(Ce,)= a,≤ 0.上式与f为正定二次型矛盾，因而a,>0(i=1,2,,n)推论1:实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n推论2:实二次型f =XTAX为正定的充分必要条件是它的规范标准形为f=++…+y加油！

必要性(反证法) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. s s s s s Y e X Ce f X f Ce          假设存在某个 ，取 单位向量 ， 当 ，则有 0( 1, 2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而   : 2 2 2 1 2 2 T n f X AX f y y y      实二次型 为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为 推论 : 实二次型 f X AX   为正定的充分必要条件是 它的正惯性 推论1 指数为n

三、正定二次型的直接判别定义2.设A为n阶矩阵，由A的前k行前k列元素构成aa1201ka21(22a2k的k阶行列式ak1ak2akk称为矩阵A=(a,)的k阶顺序主子式加油！

定义2 .设A n A k k 为 阶矩阵，由 的前 行前 列元素构成 11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k kk a a a a a a k a a a 的 阶行列式 ( ) . A aij 称为矩阵  的k阶顺序主子式 三、正定二次型的直接判别

定理2实二次型f =X'AX为正定的充分必要条件是它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零例 判断下列二次型的正定性625.xf = 3x +4xx, +4x2 -4x,x+320P=3>024-2TA=解：二次型的矩阵为2P8>005-24P, =l A}= 28 > 0以P,记它的顺序主子式，则从而f正定加油！

. 2 f X AX A 实二次型   为正定的充分必要条件 是它的矩阵 的所有顺序主子式 定 全大于零 理 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 f x x x x x x x      3 4 4 4 5 判断下列二次型的正定性 解:二次型的矩阵为 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A              以Pk记它的顺序主子式，则 1 2 3 3 0, 3 2 8 0, 2 4 | | 28 0 P P P A        ＝ 从而 f 正定. 例

例t取何值时下列二次型是正定的f = x + +4x2 +4x +2txx2 -2xixs + 4x,x-1解：二次型的矩阵为A=21>0>0.-2 0加油！

2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 4 4 2 2 4 t f x x x tx x x x x x        取何值时下列二次型是正定的    1 2 2 3 1 0, 1 4 0, 4 | | 4 1 2 0 P t P t t P A t t            ＝ 解:二次型的矩阵为 1 1 4 2 1 2 4 t A t                 2 1 t 例

对于实对称矩阵A，下列命题等价：1.A是正定矩阵2．A的特征值全为正数3. A与单位矩阵I合同4.A的顺序主子式全大于零定义3设二次型f=XAX，及任意n维非零列向量X若f = X'AX<0,则称f = X'AX为负定二次型;若f=XAX≥0,则称f=X'AX为半正定二次型；若f=XAX≤0,则称f=X'AX为半负定二次型；不是正定、半正定、负定、半负定的二次型称为不定二次型加油！

对于实对称矩阵A，下列命题等价： 1. A是正定矩阵 2. A的特征值全为正数 3. A与单位矩阵I合同 4. A的顺序主子式全大于零 定义3 , 设二次型f X AX n X   及任意 维非零列向量 ， 0, 0, 0, f X AX f X AX f X AX f X AX f X AX f X AX                若 则称 为 若 则称 为 若 则称 为 不是正定、半正 负定二次型； 定、负定、半 定二次型； 半负定二次型 负定的二次型称为不 半正 ； 定二次型

定理4对二次型f=X'AX，下列命题等价1.f为负定二次型2.二次型矩阵的特征值全为负数3.二次型的负惯性指数为n.4.它的矩阵A的所有奇数顺序主子式小于零偶数顺序主子式大于零例 判断下列二次型的正定性f =-5x +4x,x, +4x,x, -6x2 -4x3加油！

定理4 对二次型f X AX   ，下列命题等价 1. f 为负定二次型 2. . 二次型矩阵的特征值全为负数 3.二次型的负惯性指数为n. 4. . 它的矩阵A的所有奇数顺序主子式小于零， 偶数顺序主子式大于零 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x       5 4 4 6 4 例 判断下列二次型的正定性

22-5二次型的矩阵为02A=-602A它的顺序主子式P =-50.2-6f是负定的P =A=-80<0加油！

二次型的矩阵为 5 2 2 2 6 0 2 0 4 A               它的顺序主子式， 1 P    5 0 f是负定的. 2 5 2 26 0, 2 6 P     ＝ 3 P A     | | 80 0