《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.4反常积分

第四节反常积分一、无穷限的反常积分二、 无界函数的反常积分三、小结

第四节 反常积分 • 一、无穷限的反常积分 • 二、无界函数的反常积分 • 三、小结

无穷限的反常积分一定义1 设函数f(x)在区间[a,+)上连续，取b>a如果极限lim（f(x)dx存在，则称此极限为函数b+f(x)在区间[a,+o)上的反常积分，记作F[~ f(x)dx f(x)dx = limf(x)dxbt8当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散

一、无穷限的反常积分 1 ( ) [ , ) lim ( ) ( ) [ , ) ( ) ( ) lim ( ) . b b a a b a a b f x a b a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx →+ + + →+ +  + =     定义 设函数 在区间 上连续，取 如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的 记作 当极 反常积分， 限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散

类似的，设函数f(x)在区间(-80,bl上连续，取a<b如果极限 limf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在区间(-o0,b)上的反常积分，记作f(x)dx[ f(x)dx = lim f(x)dx当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散

( ) ( , ] lim ( ) ( ) ( , ] ( ) ( ) lim ( ) . b a a b b b a a f x b a b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx →− − − →− −   −  =     类似的，设函数 在区间 上连续，取 如果极限 存在，则称此极限为函 数 在区间 上的反常积分，记 反常积分收敛 作 当极限存在时，称 ；当极限不 反常积 存 时，称 分发散 在

设函数f(x)在区间(-0,+o0)上连续，如果反常积分[f(x)dx和[f(x)dx都收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(-0,+80)上的反常积分，记作:{f(x)dxJ- f(x)dx = f" f(x)dx + ft° f(x)dx ["f(x)dx(° f(x)dx + lim= limb-+80a-→-0否则，称反常积分发散极限存在则称反常积分收敛；

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx + + − − →− →+ = + = +      0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) f x f x dx f x dx f x f x dx + − + − − + − +    设函数 在区间 上连续，如果反常 积分 和 都收敛 反常积分， ，则称上述 两反常积分之和为函数 在无穷区间 上的 记作： 极限存在则称反常积分收敛；否则，称反常积分发散

dx+8例11计算反常积分1-8011+x2dxdxdxro+8C+8解+181+x21+x21+x2Jo-8y110.bVEdxlimlimdx +-1+x22Joa--Ja1+x1+xb-→>+oo= lim [arctan x]' + lim [arctan x]0b+8oa→-80元(-)福=- lim arctana + lim arctanb一=元.2b-→+00a→-80

例1 计算反常积分 . 1  2 + − + x dx 解  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →− =  0 lim arctan b b x →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 =    +       = − x o y 2 1 1 y x = +

若F(x)是,f(x)的原函数,引入记号F(+oo)= lim F(x);F(-0)= lim F(x)X-8x→+8则有类似牛一莱公式的计算表达式：+8。= F(+o)-F(a)Jt° f(x)dx = F(x)b[ f(x)dx= F(x)= F(b)- F(-80)18+8_-° f(x)dx = F(x)-00 = F(+)- F(-80)

若F x f x ( ) ( ) , 是 的原函数 引入记号 ( ) lim ( ) ; x F F x → + + = ( ) lim ( ) x F F x → − − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : ( )d a f x x +   = F x( ) a + = + − F F a ( ) ( ) ( )d b f x x  −  b − = − − F b F ( ) ( ) f x x ( )d +   −  + − = + − − F F ( ) ( ) = F x( ) = F x( )

1例2证明反常积分dx当p>1时收敛，一1xp当p≤1时发散.(第一类p积分)证 (1) p=1,d=1x=[nx1r+0,?x+0, p1-p-1因此当p>1时反常积分收敛，其值为p-1当p≤1时反常积分发散

证 (1) p = 1, + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p      − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p  1时反常积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p  1时反常积分发散. 1 1 2 1 1 ( ) p dx p x p p +   例 证明反常积分 当 时收敛， 当 时发散.第一类 积分

+8例3证明反常积分e-pxdx,当p>0时收敛当p≤0时发散证：当p=0时，e-px dx=dx=+80-ape+8opxp>O+8当p￥0时e-pxdxp2p0时收敛，当p≤0时发散

证: 0 px a p e dx + −  当 时 , px a e p + −   = −           = − , 0 , 0 p p p e ap 3 0 0 px a e dx p p + −   例 证明反常积分 ,当 时收敛， 当 时发散. 0 px a p e dx + − = 当 时 , a dx + =  = + 即当p p   0 0 时收敛，当 时发散

te-pt dt (p> 0)例4.计算反常积分解:8原式=e-pidtp1+8-pt2pJo2p

例4. 计算反常积分 0 d ( 0). p t t e t p + −   解: 0 0 1 d pt pt t e e t p p + + − −   = − +     原式  2 0 1 p t e p + −   = −    2 1 p =

xdx思考:[-0对吗?+8xdx= = In(1 + x2分析：原积分发散！[1+x"2注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误

思考: 2 d 0 ? 1 x x x + − = +  对吗 分析: 2 2 d 1 ln(1 ) 1 2 x x x x + + − − = + +  原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误