《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.5反常积分的审敛法

第五节反常积分的审敛法T函数无穷限的反常积分反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法

二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 第五节 反常积分的审敛法 函数

无穷限的反常积分的审敛法一、不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定方法定理 1设函数f(x)在区间[a,+oo)上连续且 f(x)≥0. 若函数 F(x)=[(t)dt8(~ f(x)dx收敛在[a,+)上有界，则反常积分由定理1，对于非负函数的无穷限的反常积分有以下比较收敛原理

一、无穷限的反常积分的审敛法 ( ) [ , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ) ( ) x a a f x a f x F x f t dt a f x dx + +  = +   定理１ 设函数 在区间 上连续， 且 ．若函数 在 上有界，则反常积分 收敛． 不通过被积函数的原函数判定反常积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的反常积 分有以下比较收敛原理．

定理2（比较审敛原理）设函数 f(x)、g(x)在区间[a,+oo)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x<+o0),并且(g(x)dx收敛，则f(x)dx也收敛；如果0≤g(x)≤ f(x)(a≤x<+o0),并且( g(x)dx发散，则(f(x)dx也发散.+α证 设a<b<+oo，由0≤f(x)≤g(x)及g(x)dx+8I'f(x)dx≤ f'g(x)dx≤ ftg(x)dx.收敛，得即 F(b)= [" f(x)dx 在[a,+o0) 上有上界

且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在     + + + +     +   +  +     a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( )     + +     +    a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即 F(b) =  f (x)dx 在[a,+ ) 上有上界． b a

由定理1知(f(x)dx收敛如果 0 ≤ g(x)≤ f(x),且/ g(x)dx发散则[f(x)dx必定发散.·如果(f(x)dx收敛，由第一部分知+8g(x)dx也收，这与假设矛盾,当p>1时收敛;dxoo例如，反常积分(a> 0)tp当P≤1时发散0

由定理１知  收敛． + a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散   + +   a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知   + + a a g x dx f x dx ( )  ( ) 例如， 1 ( 0) 1 p a dx p a x P +        当 时收敛； 反常积分 当 时发散．

定理3(比较审敛法1)）设函数f(x)在区间[a,+)(a>0)上连续，且 f(x)≥0. 如果M存在常数 M>0及 p>1,使得f(x)≤rp(a≤x0，使得f(x)≥一(a≤x<+0)-x则 f° f(x)dx 发散

则 发散． 常数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如果 定理 比较审敛法１ 设函数 在区间   + +     +    +     +    a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )

dx+8例1判别反常积分的收敛性。/x*+1解:0<4/3Y3根据比较审敛法1，dx+8收敛.反常积分3/x*+1

例１ 1 3 4 . 1 dx x + + 判别反常积分  的收敛性 解 , 1 1 1 1 0 3 4 3 4 4 / 3 x x x  = +   1, 3 4 p =  根据比较审敛法１， 1 3 4 . 1 dx x + + 反常积分  收敛

定理4（极限审敛法1)设函数 f(x)在区间[a,+80)(a>0)上连续，且f(x)≥0.如果存在常数p>1,使得 lim xf(x)存在，则(f(x)dx收敛;x+80如果 lim xf(x) = d >0 (或 lim xf(x)= +oo),则x→+0x+80[,f(x)dx发散.dx+80例2判别反常积分的收敛性。xV1+x1 limx?.解'x/1+x=1,所给反常积分收敛.X-→+8

发散． 如 果 或 则 使 得 存在，则 收敛； 上连续，且 如果存在常数 ， 定 理 极限审敛法１ 设函数 在区间   + →+  →+ + →+  =  = +    + a x x a p x f x dx xf x d xf x x f x f x dx a f x p f x a ( ) lim ( ) 0 ( lim ( ) ), lim ( ) ( ) ( 0) ( ) 0. 1 4( ) ( ) [ , ) 例２ 1 2 . 1 dx x x + + 判 别 反 常 积 分  的 收 敛 性 解 1, 11 lim 2 2 = +  →+  x x x x  所给反常积分收敛．

t3/2+8例3判别反常积分dx的收敛性21+x+3/2x'Vx解：limlim=+8,X1+x?x→+01 + x?x-→+8根据极限审敛法1，所给反常积分发散+ arctan xd的收敛性例4 判别反常积分J1xarctan x元解lim xlim arctan x =-2X-→+00x-→+00x根据极限审敛法1，所给反常积分发散

例３ 3/2 2 1 . 1 x dx x + + 判别反常积分  的收敛性 解 2 2 2 3 / 2 1 lim 1 lim x x x x x x x x + = →+  + →+   = +, 根据极限审敛法１，所给反常积分发散． 例４ 1 arctan . x dx x + 判别反常积分  的收敛性 解 x x x x x x lim arctan arctan lim →+  →+  = , 2  = 根据极限审敛法１，所给反常积分发散．

定理5设函数f(x)在区间[a,+)上连续如果+~f(x)dx收敛；则(f(x)dx也收敛证令p(x)=;(f(x)+[f(x).: (x) ≥ 0, 且 p(x)≤[f(x), (~ 1f(x)dx收敛,+8p(x)dx 也收敛。 但 f(x)= 2p(x)-lf(x),福. f" f(x)dx = 2f'p(x)dx - I"1f(x)dx,即[tf(x)dx = 2 t0(x)dx - f° 1 f(x)dx.收敛

如 果 收敛；则 也收敛． 定 理 设函数 在区间 上连续，   + + + a a f x dx f x dx f x a ( ) ( ) 5 ( ) [ , ) 证 ( ( ) ( )). 21 令(x) = f x + f x (x)  0，且 (x)  f (x), f (x)dx 收敛, a+ (x)dx 也收敛. a+   但 f (x) = 2(x) − f (x), ( ) 2 ( ) ( ) ,     = − ba ba ba f x dx  x dx f x dx ( ) 2 ( ) ( ) .    + + + = − a a a 即 f x dx  x dx f x dx 收敛

定义满足定理5条件的反常积分(t f(x)dx称为绝对收敛f(x)dx必定收敛绝对收敛的反常积分+8例5判别反常积分e-axsin bxdx (a,b都是0常数a>0)的收敛性je-axdx收敛解：:e-axsinbx≤e-ax,而-e-axsinbxdx收敛.所以所给反常积分收敛

5 ( ) . a f x dx + 满足定理 条件的反常积分  称为绝 定 对收敛 义 ( ) a f x dx + 绝对收敛的反常积分  必定收敛． 例5 0 sin ( , 0) . ax e bxdx a b a + −  判别反常积分  都是 常数 的收敛性 解 sin , . 0 而  收敛 + − − − e bx  e e dx a x a x a x  sin . 0 收敛 + −  e bx dx ax 所以所给反常积分收敛