《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第三章 n维向量空间_3.4线性方程组解的结构

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新时代大学数学系列教材 线性代数

第三章n维向量空间C=a第四节线性方程组解的结构Q数（和十）六2业

第四节 线性方程组解的结构 第三章 n维向量空间

线性代数第四节线性方程组解的结构目录奔次线佳方程组非次线性方程组高事教商出成社1新时代大学数学东列教材

一 二 线性代数 第四节线性方程组解的结构 新时代大学数学系列教材 齐次线性方程组 非齐次线性方程组

线性代数第四节线性方程组解的结构一、齐次线性方程组iaun+ai2x,+L +ainx,=0即AX=0a+a2x+L+ax,=0LLLLLLi平凡解：X=0（零解famx+am2x,+L+amx,=0设A=，2…，,)，则下列命题等价1°，2，．…，线性相关；2°AX=0有非零解：30 R(A)<n.高等教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组 即 AX = 0 平凡解：X = 0(零解) 设 A =(￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n ), 则下列命题等价： 1 o ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n线性相关; 2 o AX = 0有非零解; 3 o

线性代数第四节线性方程组解的结构解的性质：AX=0的解向量的线性组合仍为AX=0的解证设1，2”……，，为AX=0的解向量，则A(k,,+k,+...+k,，)=A(k)+A(k,2)+...+A(k,)=kiA,+k,A2+...+kAs=k,0+k,0+...+k0=0所以，k口k，口，+..+k口，仍为AX=0的解高事教出新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 解的性质： AX = 0 的解向量的线性组合仍为AX = 0的解. 证 设￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ s 为AX = 0 的解向量，则 A(k1￾ 1+ k2￾ 2+ .+ ks￾ s ) = A(k1￾ 1 ) + A(k2￾ 2 )+ .+ A(ks￾ s ) = k1 A￾ 1 + k2 A￾ 2 + .+ ksA￾ s = k1 0 + k2 0 + .+ ks0 = 0. 所以，k1￾ 1+ k2￾ 2+ .+ ks￾ s 仍为AX = 0的解

线性代数第四节线性方程组解的结构W={XRn|AX=0为R"的子空间AX=0的基础解系：W的一组基10若口1□2，，，．线性无关·2°AX=0的任一解向量均可由，2，…，，线性表出则称1，2……，，为AX=0的一个基础解系定理1设R(A)=r<n，则AX=0有基础解系且所含向量个数为n-r即dimW=n-r，这里n为方程组未知数个数高事教出新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 W ={X￾ Rn | AX = 0} 为Rn的子空间 AX = 0的基础解系：W 的一组基. 1 o 若￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ s 线性无关; 2 o AX = 0的任一解向量均可由￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ s 线性表 出 则称￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ r 为AX = 0 的一个基础解系. 定理1 设R(A) = r < n, 则AX = 0有基础解系且所含向量个数为n - r, 即dimW = n - r, 这里n为方程组未知数个数

线性代数第四节线性方程组解的结构证R(A)=r,不妨设A的前r个列向量线性无关，则aelLobLbinro一CMMMM一A%初等变换?B=Ch一coL1bLr.n-r一Cie00i x, =-bux+i-L -bin-rxnLLL得AX=0的同解方程组Ix, =-b,ixr+-L - br,n-rxna0oaex+oloa0o小CoTCSo.S1X+2+-00C*LCC分别取则依次得CMM- CMCMC一小OS1C20020xnoe高事教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 证 R(A) = r, 不妨设A的前r 个列向量线性无关, 则 得AX = 0的同解方程组 分别取 则依次得

线性代数第四节线性方程组解的结构0boae-abuaebi20aer,o1.n-小OnCC.M-9MMM一C8小口.cebb,1br2-A-00r.n-r便得AX=0的n-r个解：bb12bi:0:Oaeaeaesh.CCCCCCCCe小小十小CCCCCCMMMob?6rn-CC中0100三一I三X,xXICn-十中一OCn10一OnCn小MMM大CCeCCe口一0010意事教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 便得AX = 0的n – r 个解：

线性代数第四节线性方程组解的结构可证明：，2…，-即为基础解系：（1）证明，2，…，-线性无关：a00aloao：C.SOCO·OCC线性无关CMCMCM一1100200为什么？！，，…，．线性无关(2)可以证明AX=0的任一解都可由1，2，…n-线性表出。（略）首意等教有出麻社新时代大学教学集列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 可证明: ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n-r 即为基础解系： (1) 证明 ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n-r 线性无关： ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n-r 线性无关为什么？ (2) 可以证明AX = 0的任一解都可由 ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n-r 线性表出.（略）

线性代数第四节线性方程组解的结构设，2,….-为AX=0的一个基解系，则口AX=0的解口，=k,,+k,,+...+kn-nr,kj,k, ...,kn-OR.AX=0的通解AX=0的基础解系一般不惟一，但其任一基础解系中所含向量个数必为n(未知数个数)-R(A)若AX=0有非零解，则必有无穷多个解高事教出新时代大学教学集列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 设￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n - r 为AX = 0 的一个基解系， 则 ￾ AX = 0 的解￾ ， ￾ = k1￾ 1+ k2￾ 2+ .+ kn-r￾ n-r , k1 , k2 , ., kn-r ￾ R. AX = 0 的 通解 AX = 0 的基础解系一般不惟一，但其任一基础解系中所含 向量个数必为 n (未知数个数) - R(A). 若AX = 0有非零解，则必有无穷多个解