《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.5.1

第三节导数的应用曲线的凹凸性与拐点小结思考题高等数学（上册）

第三节 导数的应用 曲线的凹凸性与拐点 小结 思考题

曲线凹凸性的判别法一、E(concave and convex)1.定义如何研究曲线的弯曲方向B可x高等数学（上册）

(concave and convex) 一、曲线凹凸性的判别法 1.定义 如何研究曲线的弯曲方向 x y O A B C

yy=f(x)yy= f(x)oX+xxxxolX,+X2X2 xx中22判别图形上任意弧段图形上任意弧段方法1位于所张弦的上方位于所张弦的下方定义1 设f(x)eC[a,b],如果对(a,b)内任意两点X1,X2,恒有f(xi)+ f(x2)f(x)+ f(x,)(+x)f(+x)2222那么称f(x)在(a,b)内的图形是凹(凸)的高等数学（上册）

y  f ( x) y  f ( x) x1 2 x 1 x x2 定义1 设f (x)C[a,b],如果对(a,b)内任意两点 , 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 x2 x x f x f f    , , x1 x2 恒有 那么称f (x)在(a,b)内的图形是凹 的. 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 x2 x x f x f f    (凸) 2 x1  x2 2 x1  x2     图形上任意弧段 位于所张弦的下方 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 x y O x y O 判别 方法1

X= f(x)yVy= f(x)判别方法2atxx曲线弧上每一点的切线都在曲线的下(上)定义2方,称为凹(凸)弧.(丛几何直观上)从几何直观上,随着x的增大，凹弧的曲线段f(x)的切线斜率是单增的,即f(x)是单增的,而凸弧的切线斜率是单减的,即f(x)是单减的.利用二阶导数判断曲线的凹凸性高等数学（上册）

y  f ( x) y  f ( x) 定义2 曲线弧上每一点的切线 (上) 方,称为凹(凸)弧.(从几何直观上) 凹弧的曲线段 f (x)的切线斜率是单增的,即f (x)是单增的, 凸弧的切线斜率是单减的,即f (x)是单减的.而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上, 随着x的增大, 都在曲线的下 x y O x y O 判别 方法2

2.凹凸性的判别法VBBy= f(x)y= f(x)A判别可oab xbax方法3f'(x) 递减 f"(x)0定理如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,在(a,b)内,若f"(x)>0 (<0),则f(x)在[a,b]上的图形是凹(凸)的.高等数学（上册）

f (x) 递增 f (x)  0 f (x) 递减 f (x)  0 定理 如果f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有 二阶导数,在 (a,b)内,若f (x)  0 ( 0), 则f (x) 在[a,b]上的图形是 凹(凸)的. 2. 凹凸性的判别法 x y O a b A B y  f ( x) x y O a b A B y  f ( x) 判别 方法3

可xx定理如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,在(a,b)内,若f"(x)>0 (0(< 0),则f(x)为极小值 (极大值)高等数学（上册）

定理 如果f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有 二阶导数,在 (a,b)内,若f (x)  0 ( 0), 则f (x) 在[a,b]上的图形是 凹(凸)的. x y O x y O 联想下极值的二阶判断！ 极值判断(第二充分条件) ( ) 0, 如果 f  x0  极小值 (极大值). f (x)  0 ( 0),则f (x0 )为

例 判断曲线=x3的凹凸性y=x3V解 ：y'= 3x2，y"= 6x,x当x0时，J">0,：曲线在[0,+)为凹的注点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点高等数学（上册）

例 . 判断曲线 y  x 3 的凹凸性 解 3 , 2  y  x y  6x, 当x  0时，y  0, 曲线 在(,0]为凸的； 当x  0时，y  0, 曲线 在[0,)为凹的. 注 点(0,0)是曲线由 凸变凹的分界点. 3 y  x x y O 

二、曲线的拐点及其求法(inflection point)1.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点几何上拐点处的切线必在拐点处穿过曲线J=x3Vx高等数学（上册）

1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点. 几何上 二、曲线的拐点及其求法 (inflection point) 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 3 y  x x y O

2.拐点的求法拐点的必要条件若f(x)具有二阶导数,则点(xo,f(x))是拐点的必要条件为f"(x)=0.拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点求法拐点的第一充分条件设函数f(x)在x,的邻域内0--二阶可导,且f"(x)=0(或xo为二阶导数不存在的点)(1）x两近旁f"(x)变号，点(xo,f(x))即为拐点;(2)x,两近旁f"(x)不变号,点(xo,f(x)不是拐点高等数学（上册）

设函数f (x)在x0的邻域内 0 x 两近旁f (x)变号, ( ) , x0两近旁f  x 不变号 拐点的第一充分条件 二阶可导, ( ) 0 且f  x0  0 0 点(x , f (x ))即为拐点; ( , ( )) . 点 x0 f x0 不是拐点 2. 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. 拐点的必要条件 若f (x)具有二阶导数,则点 ( , ( )) 0 x0 x f ( ) 0. f  x0  (1) (2) 是拐点的必要条件为 (或x0为二阶导数不存在的点) 拐 点 求 法

例2求曲线=3x*-4x2+1的拐点及凹、凸的区间。解: D:(-00,+0)y" = 36x(xy'= 12x3 -12x2，2得 x = 0, x2 =3令y"= 0, % [(%,+80)0(0,23)x(-0,0)++f"(x)00拐点拐点凸的凹的凹的f(x)(%.1%7)(0,1)O高等数学（上册）

例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y  x  x  的拐点及 解  D :(,) 12 12 , 3 2 y  x  x ). 3 2 y  36x(x  令y  0, . 3 2 0, 得 x1  x2  x (,0) , ) 3 2 ) (  3 2 0 (0, 3 2 f ( x) f ( x)  0  0  凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(