《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-7

第七节一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解三、小结

一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第七节一阶常系数线性差分方程 三、小结

一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式(1)yx+1-ayx= 0(a ≠ 0为常数)一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式(2)yx+1 -ayx = f(x)(a±0为常数，f(x)±0)注:(1)为(2)所对应的一阶常系数齐次线性差分方程

一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程. 0( 0 ) y x1  ay x  a  为常数 ( ) y x1  ay x  f x (a  0为常数，f x  0)

一、 一阶常系数齐次线性差分方程的求解1.迭代法(1)Jx+1-ayx=0(a≠0为常数)设y为已知，由方程（1）依次可得Ji = ayoyz = ayi = a'yoY3 = ayz = a' yo

一 、 一阶常系数齐次线性差分方程的求解 1.迭代法 0( 0 ) y x1  ay x  a  为常数 1 设y0为已知，由方程（ 1）依次可得， 1 a 0 y  y 0 2 2 1 y  ay  a y 0 3 3 2 y  ay  a y  

Jx = ayx-1 = a"y容易验证，=αy,满足差分方程，令J。=C为任意常数，于是差分方程（1）的通解为Y.=Ca*.例1求2yx+1+yx=0的通解。1解a=2.差分方程的通解为 Y,=c(-)

. 1 0 0 x x x x Y Ca y C y a y    通解为 为任意常数，于是差分 方程（ ）的 容易验证， 满足差分方程，令 1 0 y ay a y x x  x  1 2 0 . 例 求 yx1  yx  的通解 解 2 1 a   . 2 1 x Yx C       差分方程的通解为  

2.特征根法(1)Jx+1-ayx=0(a±0为常数)方程（1）变形为Ay+(1-a)y=0(a0为常数)根据*=(-1)*,可以看出,的形式一定为某一指数 函数设y= (≠0)，代入（1)）得x+1 -a2* = 0

2.特征根法 0( 0 ) y x1  ay x  a  为常数 1 方程（1）变形为 y  1 ay  0(a  0为常数) x x   . 1 可以看出 的形式一定为某一指数 函数 根据 ， x x x y      设yx   x (  0)，代入（1）得 0 1   x x  a

特征方程即-a=0a=a特征根于是y=α*是（1）的一个解从而y=Ca是（1）的通解用特征根法求例1的通解解牛特征方程2+1=0特征根=-.差分方程的通解为Y,=C-

即  a  0 ＝a 特征方程 特征根 于是yx  a x是（1）的一个解， 从而 是（1）的通解. x yx  Ca 用特征根法求例1的通解. 解 特征方程 2  1  0 . 2 1 x Yx C       差分方程的通解为   2 1 特征根   

例2求3yx-Jx-1=0满足y。= 2的特解解原方程可改写为3yx+1-y=0特征方程为3-1=0特征根=.差分方程的通解为Y、=代入y。= 2，得C= 2.所求差分方程的特解为Y=2

2 3 0 2 . 例 求 yx  yx1  满足y0  的特解 解 差分方程的通解为 ； x Yx C         3 1 原方程可改写为 3 yx1  yx  0 特征方程为 3  1  0 3 1 特征根   2 2 代入y0  ，得C  . 3 1 2 x Yx       所求差分方程的特解为 

二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解(2)Jx+1 -ayx = f(x)(a≠0为常数，(x)±0)一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特 解y，另一项是对应的齐次差分方程的通解Y即差分方程（2）的通解为yx=Y+y

二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 . x x Y y 另一项是对应的齐次差 分方程的通解 一项是该方程的一个特 解 ， 的和组成： 一阶常系数非齐次线性 差分方程的通解由两项  2 .  x  x  x 即差分方程（ ）的通解为y Y y ( ) 2 y x1  ay x  f x (a  0为常数，f x  0)

下面讨论特解J*的求法：当右端f(x是某些特殊形式的函数时采用待定系数法求其特解y*较为方便待定系数法假定待定的特解 y*与f(x)的形式相同.然后将它们代入差分方程，求出待定系数即可求出特解

即可求出特解． 相同 然后将它们代入差分方 程 求出待定系数 待定系数法 假定待定的特解 与 的形式 . , y f ( x) x    采用待定系数法求其特解 较为方便. 当右端 是某些特殊形式的函数时，  x y f x 下面讨论特解 的求法 :  x y

1. f(x)= p,(x)型方程 (2)为 Jx+1 - ayx = p,(x)即Ayx+ (1 -a)yx= p,(x)设y*是它的解，代入上式得Ayx* +(1-a)yx* = p,(x)由于p,(x)是多项式，因此y也应该是多项式，且y*是n次多项式，Ay*是(n-1)次多项式

f ( x)  pn  x 型 方程 2 为 y ay p  x  x  1  x  n y  a  y p  x  即  x  1  x  n 设 是它的解，代入上式得  x y y  a  y p  x   x   x  n   1   且 是 次多项式， 是 1次多项式. 由于 是多项式，因此 也应该是多项式，      y n y n p x y x x n x 1