《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-4

第四节可降阶的二阶微分方程一、"=f(x)型的微分方程二、y"=f(x,y')型的微分方程三、J"=f(y,y')型的微分方程四、小结思考题

四、小结 思考题 第四节 可降阶的二阶微分方程 二、y  f ( x, y)型的微分方程 三、y  f ( y, y) y   f ( y , y  )型的微分方程 一、y  f (x)型的微分方程

一、y"=f(x)型特点：等式右端仅含有自变量x.解法：将'视为新的未知函数，则 y'= ( f(x)dx+C)同理可得y ={LJ f(x)dx+C,Jdx+C,可得通解

解法： 特点： 等式右端仅含有自变量 x. 将 y 视为新的未知函数， 可得通解. 一 、 y   f (x) 型 1 2 1 [ ( ) ] ( ) . y f x dx C dx C y f x dx C  + +   + ò ò ò 同理可得 则

X的通解。例1 求微分方程 y"=e2×-sin 3解次，得对所给方程连续积分两x+3cos=+CV32X+9sin=+C,x+C34

例1 . 3 sin 求微分方程 2 的通解 x y e x    解 对所给方程连续积分两 次，得 2 1 1 3cos 2 3 x x y  e + + C 2 1 2 1 9sin 4 3 x x y  e + + C x + C

二、 y"=f(x,y') 型特点：右端不显含未知函数y.-D解法：设y'=p方程变为 p'=f （x，p).·—关于x,p的—阶微分方程，设其通解为p=β(x,C)dy即p(x,Cl)p=dx故方程的通解为：=p(x,C,)dx+C

设 y  p d , d p y p x     特点： 右端不显含未知函数 y. 解法： 方程变为 p  f（x，p）. 二、 y  f (x, y) 型 关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 ( , ) C1 p   x 即 1 d ( , ) d y p x C x    故方程的 通解为： 1 2 y  (x,C )dx + C ò

例2求微分方程(1+x2)y"=2xy"满足初始条件 Jx= =1，Jx=o=3 的特解。可得解：设=p,代入方程并分离变量后2xdpdx.1+ xp两端积分得InP = In(1+ x°) + C即(Ci = )p= j'=Ci(1+x2)

例2 求微分方程 1+ x y  2xy 2 ( ) 满足初 始条件 1 3 y x0  , y x0  的特解. (1 ) ( ) ln ln(1 ) . 1 2 , 1 2 1 2 2 C p y C x C e p x C dx x x p dp y p    +  ±  + + +    即 两端积分得 解： 设 代入方程并分离变量后 可得

由条件y|x=o= 3，得C =3故 '= 3(1 +x2)积分得y=x2+3x+C又由条件x=0=1得C2=1：所求特解为y = x3 +3x+1

3 1. 3 所求特解为 y  x + x + 由条件y x0  3，得C1  3 2 3 积分得 y  x + 3x + C 3(1 ) 2 故 y  + x 1 1 又由条件 y x0  得C2 

三、j"=f(y,y) 型特点：方程中不明显地含有自变量xdpdydp解法： 设 y'= p(y)则y"Ddxdydydp方程化为关于y，p的一阶微分方程f(y,p)dy设它的通解为：: y'=p=p(y,C)分离变量并积分，可得原方程的通解为dyx+p(y,C)

三、y  f ( y, y) 型 特点：方程中不明显地含有自变量x. 解法：设 y  p( y) d d d , d d p y p y p y x dy     方程化为关于y , p 的一阶微分方程 d ( , ) d p p f y p y  设它的通解为： ( , ) C1 y  p   y 分离变量并积分，可得原方程的通解为： 2 1 d . ( , ) y x C  y C  + ò 则

例3 求方程 yy"-"=0的通解dp解一 设y'= p(y),则y"=pdydpdp=0,即代入原方程得y·p(dydydp由可得 p=Ciy,p = 0,dydy即2eGxCyy=C,所以原方程的通解为dx

0 . 求方程 yy  y 2  的通解 解一 设 y  p( y), 代入原方程得 d 2 0, d p y p p y    d ( ) 0, d p p y p y 即    d 0 d p y p y 由    ， 1 可得 p  C y, . 1 2 C x 1 所以原方程的通解为 y  C e d d y C y x 即  ， 例 3 d , d p y p y 则  

解二 两端同乘不为零因子Jyy"- y"2ydxy故y'=Ciy,从而通解为y=C,e℃解三原方程变为VV两边积分,得 Iny'=Iny+InCr,即 y'=Ciy,原方程的通解为 =C,eCix

解二 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 2 2 d ( ) 0, d yy y y y x y       , 1 故 y  C y 从而通解为 . 1 2 C x y  C e 解三 原方程变为 , y y y y     两边积分,得 ln y  ln y + lnC1， 即 y  C1 y， 原方程的通解为 . 1 2 C x y  C e

※例4求方程 xyy"-xy"2=yy'的通解解 将=el代入原方程,得z'x = z,解其通解为 z=Cx,原方程通解为CxdxCiy=eJ

. 求方程 xyy  xy 2  yy的通解 解 zx  z， 解其通解为 z  C x, 2 1 d 2 . Cx x C x y e C e ò   原方程通解为 代入原方程,得 ※例4 将 ò  z x y e d