《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-5

第五节二阶常系数线性微分方程一、定义二、、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性方程解法四、二阶常系数非齐次线性方程解法五、小结思考题

二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结 思考题 第五节 二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义

一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式y" + py'+ qy = 0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y"+ py'+qy= f(x)

一、定义 y  py  qy  0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y  py  qy  f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式

线性微分方程的解的结构二、纟1.二阶齐次方程解的结构(1)y" + P(x)y' +Q(x)y= 0定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程(1)的两个解，那末y=CJ+C2yz也是（1)的解．（C，C,是任意常数）问题：J=Cii+C,y2一定是通解吗？

二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y  C y  C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是任 意常数） 问题: y  C1 y1  C2 y2一定是通解吗？ y  P(x) y  Q(x) y  0 (1)

定理2:如果y,(x)与y,(x)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么y=CJ+C2Jz就是方程（1)的通解.（C，C,是任意常数）yi(x)u(x）≠ 常数，注：若在区间I上有y2(x)则函数y,(x)与y,(x)在区间I上线性无关例如y"+y=0,观察有y, = cosx, y, = sinx,且 z=tan x±常数, :. 通解y=C,cosx+C, sinx.y1

注：若在区间 I 上有  ( )  常数， ( ) ( ) 2 1 u x y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在区间 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y  C y  C y 就是方程(1)的 通解. （ 1 2 C , C 是任意常数） 例如 y  y  0, cos , sin , 1 2 y  x y  x tan , 1 且 2  x  常数 y y cos sin . 通解y  C1 x  C2 x 观察有

2.二阶非齐次线性方程的解的结构定理3设V是二阶非齐次线性方程(2)y" + P(x)y'+Q(x)y = f(x)的一个特解，Y是与（2）对应的齐次方程（1）的通解，那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程（2）的通解

2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y  P(x) y  Q(x) y  f (x) (2) 的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解, 那么 * y  Y  y 是二阶非齐次线性微分 方程(2)的通解

定理4设Ji，y2是非齐次方程（2）的解，那么J1一y2就是非齐次方程（2)所对应的齐次方程（1）的解.定理5设非齐次方程（2）的右端f(x）是几个函数之和，如y"+ P(x)y+Q(x)y= f(x)+ f(x)而y与y分别是方程解的叠加原理y" + P(x)y'+Q(x)y = f(x)y" + P(x)y' +Q(x)y = f,(x)的特解，那么y+y,就是原方程的特解

定理 4 设 1 2 y ，y 是非齐次方程(2)的解,那么 1 2 y  y 就是非齐次方程(2)所对应的齐次方程(1) 的解. 定理 5 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y  P x y  Q x y  f x  f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y  P x y  Q x y  f x ( ) ( ) ( ) 2 y  P x y  Q x y  f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y  y 就是原方程的特解. 解的叠加原理

例1已知=3，J2=3+x，=3+x2+e*都是微分方程(x2 - 2x)" - (x2 - 2)' + (2x - 2)y = 6(x - 1)的解，求其所对应的齐次微分方程的通解解‘：Ji，J2，ys都是微分方程的解，:. y3 - y2 =e*, J, -yi =x?,是对应齐次方程的解，≠常数t2J2 -J1: 所求通解为 y=C(y3-y2)+C,(y2-)= Cje* +C,x2

1 2 3  y , y , y 都是微分方程的解, , 3 2 x  y  y  e , 2 2 1 y  y  x 是对应齐次方程的解, 2 2 1 3 2 x e y y y y x    又  常数 所求通解为 . 2 C1e C2 x x       1 3 2 2 2 1 y  C y  y  C y  y 例1         . 2 2 2 2 6 1 3 3 3 2 2 2 3 2 1 2 的解，求其所对应的齐 次微分方程的通解 已知 ， ， ＋ 都是微分方程               x x y x y x y x y y x y x e x

三、二阶常系数齐次线性方程解法一一一一一特征方程法y" + py'+ qy= 0设y=e，将其代入上述方程,得(r2 + pr + q)erx = 0:ex +0,特征方程故有r2 + pr +q= 0特征根 r.2=P±Vp"-4g2

三、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 , rx 设 y  e 将其代入上述方程, 得 ( ) 0 2    rx r pr q e  0, rx e 故有 0 2 r  pr  q  特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r    特征根  y  py  qy  0

1)有两个不相等的实根(△>0)p-p2-4q特征根为r,=二P+Vp-4gr:22两个线性无关的特解Ji =e'*, J, =e**得齐次方程的通解为 y=C,e'ix +C,e*;

1)有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r     , 2 4 2 2 p p q r     , 1 1 r x y  e , 2 2 r x y  e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y  C e  C e (  0) 特征根为

2）有两个相等的实根（△=0)p一特解为J,=e"x特征根为 r=r,=-2设另一特解为 yz =u(x)e'ix,将2，，代入原方程并化简，u"+(2r + p)u' +(r? + pr +q)u= 0,则 y, = xe'*知 u"=0,取 u(x)=x，I得齐次方程的通解为 y=(C +C,x)e;

2) 有两个相等的实根 , 1 1 r x , y  e 2 1 2 p r  r   (  0)一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y  C  C x e 将 y2 ，y2  ，y2  代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u  r1  p u  r1  pr  q u  知 u  0, 取 u( x)  x, , 1 2 r x 则 y  xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y  u x e 特征根为