《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.3

第三节分部积分法基本内容三、禁李三、 思考题高等数学（上册）

一 、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法

基本内容问题I xe'dx = ?解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数(uv) = u'v+uv',uv'=(uv) -u'v,u'dx = uv-[u'vdx, [udy = uv -f vdu.分部积分(integrationbyparts)公式高等数学（上册）

问题 d ? x xe x   解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u  u( x)和v  v( x)具有连续导数, uv   uv  uv ,  uv uv   uv,    uvdx  uv  uvdx,   udv  uv  vdu.   分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容

例1求积分Ixcosxdx.1解 (一)令u= cosx, xdx 22七[ xcos xdxsin xdxcos x22显然，u,v选择不当，积分更难进行解 (二)令 u= x, cosxdx =dsinx =dy[ xcosxdx = [ xdsinx = xsinx -sin xdx= xsinx+cosx+C.高等数学（上册）

例1 求积分 xcos xdx .  解（一） 令u  cos x,   1 2 d d d 2 x x  x  v xcos xdx  2 2 cos sin d 2 2 x x  x  x x  显然，u,v选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u  x, cos xdx  dsin x  dv xcos xdx   xdsin x   xsin x  sin xdx   xsin x  cos x  C

fuv'dx = uv-fu'vdx,fudv=uv-fvdu.分部积分公式分部积分的两个原则：1.dv要容易凑出分部积分步骤：2.「vdu比「udv容易观察[ f(x)dx = [ u'dxudv= uv-f vdu凑微分：dv分部= uv- [u'vdx反对幂指三，前者取U，一般可以解决。高等数学（上册）

反对幂指三，前者取U，一般可以解决

[x"e'dx =x"de'例2求积分Ix'e*dx.[x"sin xdx =-x"dcosx解 u= x2, e*dx = de* = dv,Jx'e'dx =J r'de* =+'e'-fedx rodt-jIx"dsinx= x'e* - 2[ xe*dxu=x, e'dx =dy= xe* - 2[ xde*（再次使用分部积分法= x’e* -2(xe* -e*)+C.注意，前后几次所选的u应为同类型函数总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u，使其降幂一次(假定幂指数是正整数)高等数学（上册）

例2 求积分 2 d . x x e x  解 , 2 u  x d d d , x x e x  e  v 2 d x x e x  2 2 d x x  x e  xe x  2( ) . 2 x e xe e C x x x     （再次使用分部积分法） u  x, d d x e x  v 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)  注意，前后几次所选的 u 应为同类型函数. 2 = d x x e  2 2 d x x  x e  e x  2 2 d x x  x e  x e 

例3求积分I x arctan xdx.七解 令u=arctanx,xdx=ddy2x arctan xdxarctan xdx?2Xd(arctan xarctanx2222大1Xdxarctan x2221+:Xd.xarctan x22x arctan x)+ Carctan22C高等数学（上册）

例3 求积分 xarctan xdx.  解 令 u  arctan x , 2 d d d 2 x x x v         xarctan xdx  2 2 arctan d(arctan ) 2 2 x x  x  x  2 2 2 1 arctan d 2 2 1 x x x x x      2 2 1 1 arctan (1 )d 2 2 1 x x x x       ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x     2 arcta 1 2  n xdx 

In xd"+!例4求积分x' In xdx.x"Inxdxn+1x解 u=lnx, x'dx=d=dy,xarctanxdxarctan xdxn+4n+1arcsin xds"+!In xdx =rx"arcsin xdxInxdn+14arccosxdx+!d In xarccosxdxX4Idx4X1nx416总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u高等数学（上册）

例4 求积分 3 x ln xdx.  解 u  ln x, 4 3d d d , 4 x x x v         3 x ln xdx  1 4 1 3 ln d 4 4  x x  x x  . 16 1 ln 4 1 4 4  x x  x  C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数 或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑 设对数函数或反三角函数为u.  4 ln d 4 x x   1 4 1 4 1 ln d 4 4 x x x x x    1 4 1 4 ln d ln 4 4  x x  x x 

例5求积分sin(lnx)dx.标准形直接做，，分部积分解sin(In x)dx= x sin(Inx)- (xd[sin(lnx))= xsin(lnx)-xcos(lnx)· 二dxx= xsin(In x)- ( cos(lnx)dxxd[cos(In x))= xsin(Inx)- xcos(lnx)+(xsin(In x) =dx= xsin(lnx)- xcos(lnx)-注意循sin(ln x)dx= x[sin(Inx) - cos(Inx)] 环形式Xsin(ln x)dx =-[sin(In x) - cos(In x)I+ C.2[lnxdx=x(lnx-1)+Carcsinxdx=xarcsinx+V1-x+Carccosxdx=xarccosx-V1-x?+C院高等数学（上册）

例5 求积分 sin(ln x)dx.  解 sin(ln x)dx   xsin(ln x)  xd[sin(ln x)] 1 xsin(ln x) xcos(ln x) dx x      xsin(ln x)  xcos(ln x)  xd[cos(ln x)]   x[sin(ln x)  cos(ln x)] sin(ln x)dx   sin(ln x)dx  [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x  x  x  C 标准形直接做，分部积分  xsin(ln x)  cos(ln x)dx  1 xsin(ln x) xcos(ln x) xsin(ln x) dx x     注意循 环形式

e* sin xdx.例6求积分反对幂指三[e*dcosx解法一e" sinxdx一-[cosde*=-e*cosx+= -e* cosx+ e* cosxdx= -e* sinx+e"d sinx= -e* cosx+(e* sinx- (sinxde*)注意循环形式= e*(sinx - cosx)e sin xdxetsin xdx =(sin x -cosx)+ C.2高等数学（上册）

例6 求积分 sin d . x e x x  解法一 sin d x e x x  dcos x   e x  cos cosd x x  e x  e  cos cos d x x  e x  e x x  sin dsin x x  e x  e x  cos ( sin sin ) x x x  e x  e x  xde  (sin cos ) sin d x x  e x  x  e x x  sin d x  e x x  (sin cos ) . 2 x x C e x    注意循环形式 反对幂指三

e" sin xdx.例6求积分解法二[sin xd(e*)e" sinxdx= e* sinx - [e*d(sinx)= e* sinx-fe* cosxdx = e*sinx-f cos xd(e*)= e* sinx -(e* cosx - (e*dcosx)注意循环形式= e*(sinx- cosx)e"sin xdxetsin xdx =(sin x -cosx)+ C.2高等数学（上册）

例6 求积分 sin d . x e x x  解法二 sin d x e x x  sin d  x  x e  sin d(sin ) x x  e x  e x  sin cos d x x  e x  e x x  sin cos d  x x  e x  x e  sin ( cos dcos ) x x x  e x  e x  e x  (sin cos ) sin d x x  e x  x  e x x  sin d x  e x x  (sin cos ) . 2 x x C e x    注意循环形式