《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章_2.2.4高阶导数

第三节高阶导数高阶导数的定义三:、高阶导数的求导法则三、小结思考题高等数学（上册）

一 、高阶导数的定义 二、高阶导数的求导法则 三、小结 思考题 第三节 高阶导数

、高阶导数的定义(derivative of higher orders)问题：变速直线运动的加速度设 s= f(t),则瞬时速度为 v(t)= f'(t)：加速度a是速度v对时间的变化率:. a(t) = v'(t) =[f'(t)]}'定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即f'(x+x)- f'(x)(f'(x)'= limAxAr-→>0存在,则称(f(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数高等数学（上册）

一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s  f (t), 则瞬时速度为 v(t)  f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t)  v(t)  [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x               (derivative of higher orders)

d'f(x)d2记作或f"(x), Jdr?dx二阶导数的导数称为三阶导数f"(x),三阶导数的导数称为四阶导数,, f(4)(x), y(4)一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作d"f(x)d"yf(n)(x), j(n),或drndx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，f(x)称为零阶导数：f(x)称为一阶导数高等数学（上册）

记作 . d d ( ) d d ( ), , 2 2 2 2 x f x x y f  x y 或 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n  . d d ( ) d d ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x f x x y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. . d d ( ), , 3 3 x y 二阶导数的导数称为三阶导数 f  x y , . d d ( ), , 4 4 (4) (4) x y f x y

高阶导数的求法法则1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数例1 设 y=arctan x,求f"(0), f"(0).1-2x解1+x?(1 +x*)?X2x2(3x2 -1)(1 + x)3-2x2(3x2 - 1)=-2f"(0)lx=0 =0; f"(0)x=0(1+x2)(1+ x")3高等数学（上册）

二、 高阶导数的求法法则 例1 设 y  arctan x, 求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y    ) 1 1 ( 2     x y 2 2 (1 ) 2 x x    ) (1 ) 2 ( 2 2      x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x    2 2 0 (1 ) 2 (0)       x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0)      x x x  0; f  2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数

例2 设 =x~ (αR),求(n)解 j'=αxα-1j" =(αxα-1l) =α(α-1)xα-2y" = (α(α-1)xα-2)= α(α-1)(α-2)xα-3(n) = α(α-1) ...(α- n+1)xα-n(n ≥1)若α为自然数n,则= (mtl) =(x)ntl) =(nl) = 0.y(n) =(x")(") =n!,求n阶导数时,求出1-3或4阶后，不要急于合并分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)高等数学（上册）

例2 ( ), . (n) 设 y  x  R 求y  解 1 y  x ( ) 1      y x 2 ( 1)      x  3 ( 1)( 2)  ( ( 1) )       x 2        y x ( 1) ( 1) ( 1) ( )          y n x n n  n 若  为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y  x  n!, ( 1) (n 1) ( ) ( !) n n y x n       0. 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法 证明) 

例4 设 y= sin x,求y(n)。解 y'=cosxy"=-sinx=-COSx= sinx: (sin x)(n) = sin(x+n.2同理可得(cos x)(n) = cos(x+ n.2高等数学（上册）

例4 sin , . (n) 设 y  x 求y 解 y  cos x y   sin x y  cosx  ( ) (sin ) sin( ) 2 n x x n      ( ) (cos ) cos( ) 2 n x x n  同理可得    (4) y  sin x

例4 设 y= sin x,求("),元解 j'=cosx = sin(x+#2元元儿元(x+2.y" = cos(x +?x+2222元儿y" = cos(x + 2.sin(x + 3.22元.. (sin x)(n) = sin(x + n .2元同理可得(cosx)(n) = cos(x + n2高等数学（上册）

例4 sin , . (n) 设 y  x 求y 解 y  cos x ) 2 sin(   x  ) 2 cos(  y  x  ) 2 2 sin(     x  ) 2 sin( 2   x   ) 2 cos( 2  y  x   ) 2 sin( 3   x    ) 2 (sin ) sin( ( )   x  x  n n ) 2 (cos ) cos( ( )  x  x  n 同理可得 n

2.高阶导数的运算法则：设函数u和v具有n阶导数，则(l) (u±v)(n) = u(n) ±v(n)(2) (Cu)(n) = Cu(n)1m1-(3) (u·v)(") = u(")+ nu(2!n(n-1)...(n - k +1)（K.+uv(n)k!莱布尼茨公式ZChu(-k),()=0urk),( +.+C,un -ZCu-k),(k)3)即β:(uv)(n =Cunv+Cu-)+Cur-2) +..+(k-0房高等数学（上册）

2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u  v  u  v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu  Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v                       莱布尼茨公式 ( ) 0 ( ) 1 ( 1) 2 ( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (3) ( ) n n n n n k n k k n n k n k k n n n n n n k u v Cu v Cu v Cu v C u v Cuv C u v      即：       

例6 设 y=xe2×,求y(20),解 设u=e2×,=x2,则由莱布尼兹公式知y(20) =C(e2x)20) . x2 +C(e2x)19) . (x2)+C(e2x)(18) . (x2)"+0= (e2*)(20) . x2 + 20(e2×)(19) . (x2)20(20 -1)2(e2x)(18) . (x2)" + 0+2!= 22°e2x . x2 + 20 . 21'e2x . 2x20.19182x1e2?X2!= 22°e2x(x2 + 20x + 95)高等数学（上册）

例6 , . 2 2 ( 20) y x e y 设  x 求 解 设u  e 2 x , v  x 2 ,则由莱布尼兹公式知 2 ( 20 ) 2 2 (19 ) 2 2 (18 ) 2 ( ) 20( ) ( ) 20(20 1) ( ) ( ) 0 2! x x x e x e x e x           2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2         x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2  e x  x  x (20) 0 2 (20) 2 1 2 (19) 2 2 2 (18) 2 20 20 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x x y C e x C e  x C e  x 

三、小结思考题高阶导数的定义及物理意义；高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法：1.直接法；2.间接法高等数学（上册）

三、小结 思考题 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法