《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.2.2

第二节换元积分法2一、第一类换元法（又叫凑微分法）二、第二类换元法（又叫代换法）三、小结思考题高等数学（上册）

一、第一类换元法（又叫凑微分法） 二、第二类换元法（又叫代换法） 三、小结 思考题 第二节 换元积分法2

二、第二类换元法[x'/1-x'dx=?问题解决方法改变中间变量的设置方法过程由定义域可得 xE[-1,1]令x=sint，te[-,号1(找一单调区间满足定义域)= dx = costdt,f x' /1-x'dx ={(sint)'/1-sin't costdt由telsin' tcos' tdt =... sin' t Icost I costdt（应用“凑微分”即可求出结果）高等数学（上册）

问题 5 2 x 1  x dx  ?  解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 sin [ , ]( ) 2 2 x t t    ，   找一单调区间满足定义域  dx  costdt, 5 2 x 1 x dx   5 2 (sin t) 1  sin t costdt  5  sin t | cost | costdt    （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 由定义域可得 x[1,1]. [ , ] 2 2 5 2 sin cos d 由t t t t     

定理2设x=(t)是单调的、可导的函数，并且y'(t)± 0，又设f[y(t)ly'(t)具有原函数则有换元公式[ f(x)dx=[[ F[y(t)]y'(t)dtJt=y(x)其中y(x)是x =(t)的反函数高等数学（上册）

其中 ( x)是x  (t)的反函数. ( ) ( )d [ ( )] ( )d t x f x x f t t t            则有换元公式 并且(t)  0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 定理2

1.有理代换（根号单x是一次的，根号整体代换，注意积分变量也跟随着变；里面多个根号，x都是一次的，选取各根指数的最小公倍数代换）高等数学（上册）

说明（1）积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.X-（P216例27，三角代换很繁琐）例1 求dxx解 令t=/x-1,= x = t2 + 1, dx = 2tdt.?2tdt = 2dtr+X+11一+dt =2J(1-: 2)dtt? +1t? +1还原= 2(t - arctant) + C= 2(/x-1-arctan/x-1)+CC一高等数学（上册）

积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 说明(1) 例1 求 1d x x x  （P216例27，三角代换很繁琐） 解 令 dx  2tdt, t  x  1, 2  x  t  1, 1d x x x  2 2tdt 1 t t    2 2 2 dt 1 t t    2 2 1 1 2 dt 1 t t      2 1 2 (1 )dt t 1      2(t  arctant)  C 2( 1 arctan 1) . 还原  x   x  C

说明（2）当被积函数含有两种或两种以上的根式x,..,x时，可采用令x= t"（其中n为各根指数的最小公倍数）1t=xdx.例2 求1Tx(1+/x)6是2和3的最小公倍数解令x = t = dx = 6t'dt.6t5dx =ldtt(1+t)Vx(1 + 3/x)6t?dtdt1 + t2高等数学（上册）

说明(2) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） k l x,, x n x  t n 例2 求 3 1 d . (1 ) x x  x  解 令 6 x  t 5  dx  6t dt, 3 1 d (1 ) x x  x  5 3 2 6 d (1 ) t t t t    2 2 6 d 1 t t t    2 2 1 1 6 d 1 t t t     

+1-1dt1 +t?I dt:6现+= 6(t - arctant)+ C=6(x - arctan/x)+C高等数学（上册）

2 1 6 d d 1 t t t             6t  arctan t  C 2 2 1 1 6 d 1 t t t     

练习：同上例2，1dx.例3求积分/x+1+3/x+1解令 t°=x+1 =dx=6t'dt.加1减11dx :di6t.2Vx+1+3/x+13dt =6(t? 2-t+1t+1t+I= 2t3 - 3t? + 6t+6ln |t +1/+C=2/x+1-3/x+1+6/x+1+6ln(/x+1+1)+C注意无理函数去根号时，取根指数的最小公倍数6高等数学（上册）

例3 求积分 3 1 d . 1 1 x x   x   解 令 1 6 t  x  5  dx  6t dt, 3 1 d 1 1 x x   x   5 3 2 1 6t dt t t     3 6 d 1 t t t     2t  3t  6t  6ln | t  1| C 3 2 3 6 6  2 x  1  3 x  1  6 x  1  6ln( x  1  1)  C. 注意 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 同上例2，练习： 加1减1 3 1 1 6 d 1 t t t      2 1 6 ( 1 )d 1 t t t t      

ax + b说明(3）当被积函数含有ax+b,cx + d将无法处理的部分设为1+x例4求积分dxx1+x+x解今t三xx2tdt1dx =X:t?-1E高等数学（上册）

例4 求积分 1 1 d x x x x   解 令 1 x t x   1 2 , x t x    说明(3) 当被积函数含有  将无法处理的部分设为 t n , n , cx d ax b ax b    2 1 , 1 x t     2 2 2 d d , 1 t t x t   

2t2dt1+x121dx=-T-1X减1加1一dt =+C-2t-lnt+11+x-1+ C.T或直代公式31+t+C2t二i2高等数学（上册）

1 1 d x x x x       2 2 2 2 1 d 1 t t t t t      2 2 d 2 1 t t t     2 1 2 1 d 1 t t            1 2 ln 1 t t C t       2 1 1 2 ln 1 . x x x C x x                      减1加1 3 2 1 1 1 2 2 2 2 ln 1 2 1 或直代公式 t t dt t C t t            