《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章课件_第三章第四节

第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判定法一、二、 由曲线的凹凸与拐点HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章

函数的单调性一f(x）在开区间I内可导定理1.设函数则f(x)在I内单调递增若 f'(x)>0若 (x)O，xEI,任取 xi,X2EI (xi 05E(X1,X2)C I故 f(xi)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增DHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、 函数的单调性 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0  证: 不妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减

更一般性设函数f(x)在开区间I内可导f(x)≥0则f(x)在I内单调递增若若f'(x)≤0则f(x)在I内单调递减等号仅在有限个点处成立HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

若 更一般性 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0  等号仅在有限个点处成立 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减 设函数

例判定函数y = x 一 sinx在[一π,π]上的单调性解：y=x一sinx在[一π,元]上连续,在（一元,π)上可导y'=1-cosx ≥0且等号仅在x=0成立:函数y=x-sinx存在[一π,元]上单调增加HIGMEEIUTIONPRESSA

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 例 解

f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间例.确定函数解: f(x)= 6x2 -18x+12 = 6(x -1)(x -2)令 f'(x)= 0,得 x=1, x= 21(-8,1)(1,2)2+8x0f(x)2f(x)故f(x)的单调增区间为（-0,1)，(2,+0)f(x)的单调减区间为(1,2)HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 1 8 1 2 2 f  x = x − x + = 6( x − 1) (x − 2) 令 f ( x) = 0 , 得 x = 1, x = 2 x f (x) f (x) (− , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2, + ) + + 2 1 故 的单调增区间为 (− , 1), (2 , + ); 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：1）单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点Vx1y=3例如, y= /x? = x3,x E(-00, + 0)=8x=02）如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y= x3,x E(-o0, +0)x=0 = 0y' = 3x2HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明不等式, e*>1+x (x>0)证：设f(x)=e*-x-l则 f(x)在[0,+)上连续f'(x)=e*-l >e°-1=0x>0f(x)则f(x)>f(O)=0即e">1+xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 证明不等式 证: 设 ( ) 1 x f x e x = − − 1 ( 0) x e x x  +  机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 x 即e x  +

二、E曲线的凹凸性与拐点定义.设函数 f(x)在区间I上连续,Vxi,x2 EIf(x)+ f(x2)X2则称f(x)的若恒有f1)22图形是凹的：f (x)+ f(x2)一X则称f(x)的若恒有f((2)22图形是凸的曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点xHIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 曲线上凹凸区间的分界点 称为曲线的拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内f"()>0,则f(x)在I内图形是凹的(2)在 I内 f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的确定曲线y=x的凹凸性和拐点确定曲线y=x的凹凸性和拐点确定曲线y=x4的凹凸性和拐点HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定理2. (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 确定曲线 y = x 4 的凹凸性和拐点 确定曲线 的凹凸性和拐点 确定曲线 y x = 3 的凹凸性和拐点

凹凸区间及拐点的求法（1明确函数的定义域求出二阶导数等于零的点，及二阶不可导点(2在每个子区间上判断二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性3)曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点HIGH EDUCATION PRESS

凹凸区间及拐点的求法 (1)明确函数的定义域, 求出二阶导数等于零的点，及二阶不可导点 (2)在每个子区间上判断二阶导数的符号， 判定曲线的凹凸性 (3)曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点