《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 第6讲 弧微分与曲率

高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用第6讲弧微分与曲率人民邮电出版社POSIS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第6讲 弧微分与曲率 第3章 微分中值定理与导数的应用

R人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co弧微分曲率0203曲率半径与曲率圆

01 弧微分 02 曲率 03 曲率半径与曲率圆 本 讲 内 容

01弧微分CO0R人邮教育定义曲线y=f(x)上的弧值函数s=s(x)设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，y =f(x)M。（xoyo）作为度量弧长的基点，MMo规定：x增大的方向为正向*x

定义 3 曲线 y = f (x) 上的弧值函数 s = s(x). 设 y = f (x) 在(a,b)内有连续导数， M0 (x0 , y0 ) 作为度量弧长的基点， 规定：x 增大的方向为正向. y O x  y = f (x) M0 M  01 弧微分

01弧微分OOOORA人邮教育对曲线上任意一点M(x，y)，规定有向弧段MM的值s：①s的绝对值为弧段的长度；②当方向与曲线的正向一致时，s>0；③当方向与曲线的正向相反时，s<0，显然，s是x的函数s=s(x)，且单调增加，y=f(x)yMoMC+x

4 对曲线上任意一点M (x，y)，规定有向弧段M0M 的 值s： ①s的绝对值为弧段的长度； ②当方向与曲线的正向一致时，s>0； ③当方向与曲线的正向相反时，s<0， 显然，s是x 的函数s=s(x)，且单调增加. y O x  y = f (x) M0 M  01 弧微分

01弧微分COAO人邮教育RAds△slimds = s(x)dx先求s=s(x)的导数弧微分公式ds=？dxAr-→0 △xAs=?Ax在x处给自变量x一增量△x，Mf(x)yI=MoAy相应的有向弧段的值s有增量MAs ,Ar△s= s(x+△x)-s(x)--0x-x+Ax xXo=M.M-M.M =MMAsAsMMMMMM'AxAxAxMM"Ar△s与△x总是同号的

ds  s (x)dx ? s x    0 0  M MM M  MM s s x x      MM x    5 先求s=s(x)的导数 0 d lim d x s s x   x    在x处给自变量x一增量x ， s与x总是同号的 M0 M M   y x y  f x   相应的有向弧段的值s有增量 s ， 弧微分公式 ds  ? 0 o x x x  x x y MM MM MM x       01 弧微分 s s(xx)s(x)

01弧微分0000RA人邮教育AsMM'MM'AsMMAxAxArMf(xtV=MM(Ax)* +(Ay)"MoA1MMM(Ax)AxAsds--limdxAx-→0 △x0Xox-x+Ax xMM11lim:Ax→0 时,M'→MMMAr->0MM'= /1+(y)limMM"M'-→Mds=/i+y"dxAylim弧微分公式或ds = /(dx)? +(dy)Ax>0 Ax

0 d lim d x s s x   x    2  1 y2 ds  1 y dx       2 2 2 MM x y MM x         2 0 lim 1 x MM y   MM x                      弧微分公式 6 x  0 时，M   M 0 limx y y   x     ， lim 1 M M MM  MM  ， M0 M M   y x y  f x   0 o x x x  x x y 01 弧微分s s x x            MM MM MM x 2 2 或ds  (dx) (dy)

R人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co弧微分01曲率0203曲率半径与曲率圆

01 弧微分 02 曲率 03 曲率半径与曲率圆 本 讲 内 容

02曲率COAORA人邮教育1.定义描述：曲线的弯曲程度MMMMNNMM,M, >n,n,M,M,=M,M甲1=甲 =甲P<P2

描述：曲线的弯曲程度.  M 1 M 2    N 2 N 1 M1M2  N1N2  1   2    1  2 M 1M 2  M 2 M 3  1   2 M1 M 2 M 3    8 1.定义 02 曲率

02曲率COA0RA人邮教育曲线的弯曲程度与下列两个量有关：yM(1)切线转过的角度；AaAsM（2）弧段的长度Moα+Aαa0x曲率：单位弧长上切线所转过的角度设MM'的长度为Asl，切线转过的角度为Aα

曲线的弯曲程度与下列两个量有关： （1）切线转过的角度； （2）弧段的长度. 曲率：单位弧长上切线所转过的角度. 9 设MM 的长度为 s ，切线转过的角度为 . O x y       s  M' M0 M 02 曲率

02曲率CORA人邮教育品平均曲率：AαyMM'的平均弯曲程度AsMAaAsAαKMMoAsα+αa曲线在点M处的曲率：0xAαK = lim平均曲率的极限As-0AsdaAQ存在，则K若limK=?dsAs-0As

K s    0 lim s K s       K  ? 平均曲率的极限 平均曲率： 10 MM 的平均弯曲程度 s    - 若 存在， 0 lim s s      d d K s  则  O x y       s  M' M0 M 02 曲率 曲线在点M处的曲率：