《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 第4讲 函数的单调性、极值和最值

高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用第4节函数的单调性、极值和最值人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第4节 函数的单调性、极值和最值 第3章 微分中值定理与导数的应用

R人邮教育本讲内容w.yjinaoyu.cc01函数的单调性02函数的极值03函数的最值

01 函数的单调性 02 函数的极值 03 函数的最值 本 讲 内 容

01函数的单调性COAORA人邮教育定理3.8设函数f(x)在区间/可导，对一切xl【有(1)fdx)>0，则函数f(x)在I上单调增加；(2)fdx)<0，则函数f(x)在I上单调减少更一般性的结论设函数f(x)在区间/可导，若fx)30或fx)f0（等号仅在有限个点处成立），则函数f(x)在I内单调增加或单调减少

更一般性的结论 3 定理3.8 （1） 则函数 在I上单调增加； （2） 则函数 在I上单调减少. 设函数 在区间I可导，若 或 （等号 设函数 在区间I可导，对一切 有 仅在有限个点处成立）， 单调减少. 则函数 在I内单调增加或 01 函数的单调性

01函数的单调性CO人邮教育RA讨论单调性的步骤(1)确定y=f(x）的定义域：(2)求fdx)，并求出f(x)单调区间所有可能的分界点（包括fx)=0导数不存在的点）并根据分界点把定义域分成相应的区间(3）判断一阶导数fx)在各区间内的符号从而判断函数在各区间中的单调性

讨论单调性的步骤： 4 （1）确定 的定义域； （2）求 并求出 单调区间所有可能的分界点 （包括 导数不存在的点) 并根据分界点把定义域分成相应的区间; 函数在各区间中的单调性. （3）判断一阶导数 在各区间内的符号从而判断 01 函数的单调性

01O060函数的单调性RA人邮教育讨论函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.例（1）函数定义域为（-￥，+￥）O解（2）求导数并确定函数的驻点和导数不存在的点：fdx)=6x2 - 18x+12=6(x- 1)(x- 2) ,由fdx)=0得驻点x,=1,x,=2，该函数没有导数不存在的点.（3）根据找到的点划分区间，列表讨论(1,2)12x1x由表可知，函数的单调增加区间为(-￥1)、（2.+￥）单调减少区间为[1.21

5 （1）函数定义域为 （2）求导数并确定函数的驻点和导数不存在的点： , 由 得驻点 , 该函数没有导数不存在的点． 例 1 讨论函数 的单调区间． 解 01 函数的单调性 （3）根据找到的点划分区间，列表讨论 由表可知, 函数的单调增加区间为 、 ,单调减少区间为

01函数的单调性COA0RA人邮教育例2判断函数f(x)=/x的单调性（1）定义域为（-￥,+￥）解1-2x3f(x)=x在点x=0处导数不存在(2) fdx)=3'点x=0把定义域分成两部分区间（-￥，0),(0,+￥）(3)当xi (-,0) 时,fdx)>0当xi (0,+)时，fdx)>0.故函数f(x)=x在-,+￥)上单调增加

6 判断函数 的单调性. （1）定义域为 (2) , 在点 处导数不存在. 点 把定义域分成两部分区间 . (3)当 时， 当 时， . 故函数 在 上单调增加. 解 例 2 01 函数的单调性

01O0A函数的单调性RA人邮教育2判断函数f(x)=2-(x2-1)白例3的单调性解(1）(x)=2-(x2-1)的定义域为(-￥,+￥),fdx)=- (x22-1)3(2)则f(x）的驻点为x=0，在点x=±1处导数不存在(3)当 xl (-,- 1) 和(0,1)时, fdx)>0 ;当xi(-1,0)和(1,+￥)时，fdx)<0.故函数f(x)=2- (x2- 1)3在（-￥，1)和(0,1)上单调增加；在-1,0]和[1,+￥)上单调减少

7 判断函数 的单调性. ； . 解 例 3 01 函数的单调性 (1) 的定义域为 ， (2) ， 则 的驻点为 ，在点 处导数不存在. (3)当 和 时， 当 和 时， 故函数 在 和 上单调增加； 在 和 上单调减少

01OOAO函数的单调性人邮教育设f()= -， 0当x>0时,fdx)=arctanx+1+x2(3）f(x)的单调增加区间为[0,+￥）减少区间为(-￥,0)

8 设 确定 的单调区间. (2)当 时, 当 时, , (3) 的单调增加区间为 , 减少区间为 . 解 例 4 01 函数的单调性 （1）定义域为

01函数的单调性CO0人邮教育RA例S证明：当x>0时，e>x+1?0 证 设f(x)=e-x-1,则f(0)=0.(下证f(x)>f(0)即可）当 x>0 时fdx)=e-1>0所以函数f(x)=e-x-1在(0+)上是单调增加的，即f(x) > f (0)=0.所以当x>0时,f(x)=e-x-1>0 即e>x+1

9 证明：当 时， ． 设 ,则 ． 当 时 , , 所以函数 在 上是单调增加的, 即 ． 所以当 时, ,即 ． （下证 即可） 例 5 证 01 函数的单调性

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