《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第4节极限的运算法则

第一章第三节极限的运算法则极限的四则运算法则一、二、复合函数的极限运算法则三、极限存在准则四、两个重要极限HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

第一章 三、极限存在准则 第三节 一、极限的四则运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限的运算法则 四、两个重要极限 二、 复合函数的极限运算法则

极限的四则运算一、定理若lim f(x)= A, lim g(x)=B，则有(1) lim[f(x)±g(x))= lim f(x)± lim g(x) = A± B(2) lim[f(x)g(x))= lim f(x) lim g(x) = ABlim f(x)(x)(3) lim(B0)Bg(x)lim g(x)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、极限的四则运算 lim f (x) = A, lim g(x) = B , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （B≠0） 定理 若 则有

推论.若 lim f(x)存在 且lim f(x)= A, 则有(1) lim[cf(x)]=climf(x)=cA（ c 为常数)(2) lim[f(x)}" =[lim f(x)]" = An（n 为正整数)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

推论 . 若 lim ( ) f x 存在 则有 (1 lim[ ( )] lim ( ) ) cf x c f x cA = = ( c 为常数 ) (2 lim[ ( )] [lim ( )] ) n n n f x f x A = = ( n 为正整数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且lim ( ) , f x A =

设n次多项式P(x)= ao +ajx+..+anx"lim xn = P(xo)lim Pn(x) = ao +aj lim x +..+ anx→Xox→>xox-XoP(x)R(x) :其中P(x),Q(x)都是设有分式函数Q(x)多项式，若 Q(xo)≠0，则lim P(x)P(xo)X-→xo= R(xo)lim R(x)=Q(xo)lim Q(x)X→XOx→>xo说明：若Q(xo）=0，不能直接用商的运算法则HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

设有分式函数 其中 都是 多项式 , 则 = → lim ( ) 0 R x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 Q x P x x x x x → → 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 n 次多项式 = → lim ( ) 0 P x n x x

x-3lim例.求x2-9x-3+2x+c求c例.=4limx-→1x-1x-1lim例.求x-1Vx -1HIGH EDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

例. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求 c 例 . 求

4x2 -3x+ 9例.求lim5x2 +2x-1x-0x? -3x+1lim2x3-x2+5x-10x84x - x3 +2lim3-x2+8X-00rsHIGH EDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

例 . 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一般有如下结果一+a,xn-1aox"...+anlim(aobo≠O,m,n为正整数）box" +bxm-l +..+b.X-00m当n=m当nm2n2-2n+3lim例.求3n2 +1n-0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一般有如下结果： 为正整数 ) = 1 0 1 1 0 1 lim n n n m m x m a x a x a b x b x b − → − + + + + + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 . 求

二、复合函数的极限运算法则lim f(u)= A, lim p(x) =uo ,设定理。u-uox→Xo且x满足 0<|x-x|< 时, (x)uo,则有lim f[p(x)]= lim f(u) = Au-uox-→XoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、 复合函数的极限运算法则 定理. 设 且 x 满足 时, 0 ( ) , x u  则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x-1例.求lim.2x-→1例.求x3+5x-limX-1HIGH EDUCATION PRESS

例. 求 例. 求

Vn?+1-Vn?lim例.求n-例.(/1-x3 -ax)=0试确定常数α使limx-80HIGH EDUCATION PRESS

试确定常数 a 使 例. 求 例