《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章课件_第三章第二节

第三章第二节洛必达法则型未定式O型未定式三、其他未定式HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章

O型未定式一0定理 1. f(x)与g(x)在U(x)内有定义lim f(x) = 0, lim g(x)= 0X-→XoX-→Xo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)≠0f'(x)存在(或为80)limg'(x)X→X0f(x)f'(x)limlimg'(x)g(x)X-→XoX→XoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x → g x   存在 (或为 ) 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x → → g x g x  =  0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导 定理 1. 型未定式 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 f x g x x ( ) ( ) ( ) 与 在 内有定义

10lim f(x)= 0, lim g(x)= 0定理条件：x-→XoXXo2) f(x)与g(x)在U(xo)内可导，,且g(x)±0f(x)存在(或为8)3）limg'(x)X-→Xo证：不妨假设 f(xo）=g(x）)=0,在指出的邻域内任取则 f(x),g(x)在以x, xo为端点的区间上满足柯x 丰 Xo!西定理条件f(x) _ f(x)-f(xo)-f()(在x，Xo之间)g(x)g()g(x)-g(x)f()(xf(x)= limlimlimg'()g'(x)X→Xog(x)X-→XoX-→XoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

证: 不妨假设 0 0 f x g x ( ) ( ) 0, = = 在指出的邻域内任取 则 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x g x g x g x − = − ( ) ( ) f g    =  0 ( ) lim ( ) x x f g  →   =  定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x → g x   存在 (或为 ) 0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导

f(x)f(x)= limlim洛必达法则g(x)g(x)x→Xox→Xo推论1. 定理 1 中 x→x换为x → x。x>8,x1+8,x→-8x→xo之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立0f'(x)推论2.若仍属lim型,且f(x),g(x)满足定一0g(x)理1条件,则f(x)f'(x)xlimlimlimg"(x)g(x)g(x)HIGH EDUCATION PRESS定理1目录上页下页返回结束

推论1. 定理 1 中 0 x x → 换为 之一, 推论 2. 若 ( ) lim g ( ) f x x   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → + , 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x → → g x g x  =  0 x x → − 0 x x → +

sin ax例 求limlimx-o sinbxx-0x-X3x+2tan x - x例,求limlimx-0x>1x4sinx-x+1Tarctanx2例． 求lim1-xX1+8HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 2 0 1 lim x x e → x x − − 2 0 tan lim x sin x x → x x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求 例

二、型未定式8定理2. f(x)与g(x)在U(x)内有定义1) lim f(x) = 0, lim g(x)= 00x→XoX→Xo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)±0f(x)3) lim存在 (或为)g(x)X→Xof'(x)f(x)limlimg(x)x→Xog(x)x→XoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、   型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 0 f x g x x ( ) ( ) ( ) 与 在 内有定义 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x → → g x g x  =  0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x → g x  

定理中 x→x,换为说明：x→ Xox8x→Xox↓→18x↓→+8之一，条件2）作相应的修改，定理仍然成立f(x)若 lim仍属二型,且f(x),g(x)满足定理条件,g(x)8f(x)(xxlimlimlim则g(x)g(x)g"(x)HIGH EDUCATION PRESS定理2目录上页下页返回结束

说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. x →  , x → + , x → − 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 若 ( ) lim ( ) f x g x   理条件, 则 0 x x → 0 x x → − 0 x x → +

In x例3. 求lim(n>0)hhx-→+X例4. 求lim(n>0,1>0)1x->+80HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例3. 求 例4. 求 lim (  0 ,  0). →+   n e x x n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：1）在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题limlim例如，x-→+00xx→+00xlimlimlimxXX-→+80x→+8X-+80+X+xlimlimx→>+8X-+0HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

说明: 例如, 1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)不存在(± 80)时2)若limF'(x)f(x)f'(x)lim± limF(x)F(x)1 + cos xx + sin x例如，limlim￥1xx-→+80x→>+8极限不存在sinxlimxx→+8HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

2) 若 ( ) , ( ) ( ) lim 不存在   时   F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x    例如, x x x x sin lim + →+ 1 1 cos lim x x + →+ 极限不存在  ) sin lim (1 x x x + →+ =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束