《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第5节函数的连续性

第一章第五节函数的连续性连续的定义二、函数的间断点三、连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质HIGHEDUCATIONPRESS目录上页下页返回机动结束

二、 函数的间断点 一、 连续的定义 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 三、连续函数的性质 四、闭区间上连续函数的性质

函数连续的定义一定义：设函数 =f(x)在 x的某邻域内有定义，且lim f(x)=f(xo),则称函数 f(x)在 x连续x→xo可见，函数f(x）在点xo连续必须具备下列条件(1)f(x)在点xo 有定义，即f(xo）存在;极限 lim f(x) 存在;(2)x-xolim f(x)= f(xo).3x→XoHIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在 x0 连 续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

函数f(x)在点x。连续有下列等价命题lim f(x)= f(xo)→xolim f(xo + △x)= f(xo)△x-→0lim △y = 0Ax-0一f(xo )= f(xo)= f(xot)左连续右连续>0,>0,当-x=x< 时,有[f(x)-f(xo)|=Ay|<中HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x +  =  → lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续   0 ,   0 , 当 x − x = x   0 时, 有 f ( x ) − f ( x ) =  y   0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例. 证明函数 y= sin x 在(-o0,＋oo)内连续证: Vx E(-00, + 80)△y= sin(x + △x)- sin x =2sincos(x +Ay|=2sincos(x+)△x→ 0.1=[△x<2lim Ay= 0即△x-→0这说明y= sin x 在（-o0,+8o）内连续在（-80,+80）内连续同样可证：函数y=cosxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 证明函数 在 内连续 . 证: x  (−  , +  )  y = sin( x + x) − sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x    = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数continue在闭区间[α，b]上的连续函数的集合记作C[a,b]例如, P(x) = ao + ajx + .. a,x"（有理整函数在(-8,+8)上连续P(x)又如，有理分式函数R(x)=Q(x)在其定义域内连续HIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1-,x±0xsinf(x)=讨论在 x=0 处连续性x0x=01)求x→1时，0<x<1x,f(x)的左极限和右极限f(x)=x=12）f(x)在x=1处连续吗？1<x<21.3)求f(x)的连续区间HIGHEDUCATION PRESS

, 0 1 1 ( ) , 1 2 1, 1 2 x x f x x x      = =       的左极限和右极限 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x    =    = 讨论在 x=0 处连续性

二、函数的间断点设 f(x)在点 x.的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f(x)在点x.不连续(1) 函数,f(x)在x.无定义(2) 函数 f(x) 在 x.虽有定义,但 lim f(x)不存在;x-→xo(3)函数f(x)在 x 虽有定义,且 lim f(x) 存在，但x-→xolim f(x)± f(xo)x→Xo这样的点x。称为间断点HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

间断点分类第一类间断点：f(xo）及 f(xot)均存在若 f(xo）=f(xo)，称 xo为可去间断点若 f(xo）≠ f(xo），称 x为跳跃间断点第二类间断点：f(xo）及 f(xo）中至少一个不存在无穷间断点振荡间断点HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 无穷间断点 振荡间断点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

间断点的类型讨论函数 (x)= x2-3x+2求间断点并判断类型f(x) =-el-xHIGH EDUCATION PRESS

求间断点并判断类型 讨论函数 间断点的类型

1.处处有定义，但处处不连续的函数x=有理点f(x) :x=无理点2．处处有定义，仅在一点连续的函数x=有理点f(x)=x=无理点HIGHEDUCATION PRESS

1．处处有定义，但处处不连续的函数 2．处处有定义，仅在一点连续的函数