《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第4节无穷小与无穷大

第一章第四节无穷小乌无穷大无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、 无穷小的比较与应用HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大 四 、 无穷小的比较与应用

无穷小一、定义1.若 x→x时,函数 f(x)→0则称函数 f(x)为x→xo 时的无穷小若 x→时,函数 f(x)→0则称函数 f(x)为x→ 8时的无穷小例如:lim(x-1)=0,函数 x-1 当 x→1 时为无穷小x-11lim函数二=0, E当x→8时为无穷小一xx-0xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小 函数 时为无穷小 x →  为 时的无穷小 . x →  机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小

说明：1、无穷小是个变量函数2、无穷小是个过程量3、零是无穷小中唯一的常数HIGHEDUCATION PRESS

1、无穷小是个变量函数 说明： 2、无穷小是个过程量 3、零是无穷小中唯一的常数

定理1.（无穷小与函数极限的关系）f(x)=A+α, 其中α为 x→xolim f(x)= Ax→>xo时的无穷小量证: lim f(x)= Ax→xoV>0,3>0,当 0xo对自变量的其它变化过程类似可证HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当  −   0 0 x x 时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

无穷小运算性质"0+0=0"1.有限个无穷小的和是无穷小"0-0=0"有限个无穷小的差是无穷小2."0×0=0"3.有限个无穷小的积是无穷小4.有界函数与无穷小的乘积是无穷小5.常数与无穷小的乘积是无穷小HIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

1. 有限个无穷小的和是无穷小 2. 有限个无穷小的差是无穷小 3. 有限个无穷小的积是无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 无穷小运算性质 5. 常数与无穷小的乘积是无穷小

sin xsinx例.求limx→80x例.求limxsinx-0xHIGH EDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

例. 求 x x y sin = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求

无穷大二、定义2.若任给M >0,总存在S>0使对一切满足不等式 0M则称函数 f(x)当 x→xo时为无穷大记作lim f(x) = 00.(注:仅是借用符号x-→xoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 使对一切满足不等式 的 x 则称函数 当 时为无穷大, 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 总有 （注：仅是借用符号）

注意：1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态2.无穷大是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大3.无穷大一定无界.但无界不一定是无穷大例如，函数 f(x)= xcosx, x E(-00,+o0)f(2nπ)= 2n→∞ (当 n→00) ty =xcosx但 f(+nπ)=0X所以x→o时，f(x)不是无穷大！HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 3. 无穷大 一定无界 . 但无界不一定是无穷大 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 无穷大是没有极限的变量 . 但无极限的变量不 一定是无穷大

三、无穷小与无穷大的关系定理2.在自变量的同一变化过程中则若f(x）为无穷大为无穷小；f(x)若f(x)为无穷小,且 f(x)±0,则为无穷大f(x)说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、无穷小的比较x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小引例limx→0 3xsin xlimx-0sinxlim3xx-0HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 x → 0时, . 2 3 , , sin x x x 都是无穷小 x x x 3 lim 2 →0 = 0, x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 2 0 sin lim x x x→ = , 四、无穷小的比较