《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第1节函数

第一章第一节函数预备知识一、函数二、 HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

第一章 一、预备知识 二、函数 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数

预备知识一、1.集合及其运算定义 1.具有某种确定性质的对象的全体称为集合组成集合的对象称为元素不含任何元素的集合称为空集，记作①元素α 属于集合M,记作αEM元素α不属于集合M,记作αMHIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 预备知识 1. 集合及其运算 定义 1. 具有某种确定性质的对象的全体称为集合. 组成集合的对象称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作  . a M a M . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素例：有限集合 A={ai,a2，",an}={ai}"自然数集 N={0,1,2,…,n,…·}={n}(2)描述法:M =/x| x 所具有的特征peZ,qeNt,p与q互质例：有理数集O实数集合R=(xx为有理数或无理数)HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A =  a1 , a2 ,  , an    n i i a =1 = 自然数集 N = 0, 1 , 2 ,  , n ,   =  n  (2) 描述法： M =  x x 所具有的特征  例：有理数集 q p    Q = Z, N , + p  q  p 与 q 互质 实数集合 R =  x x 为有理数或无理数     机动 目录 上页 下页 返回 结束

集合之间的关系及运算定义2。设有集合A,B,若 x E A 必有 xE B则称A是B的子集，或称B包含A，记作 A c B.若A B且 BC A,则称 A 与 B 相等记作A= BHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束

则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 集合之间的关系及运算 定义2 . A  B. 若 且 则称 A 与 B 相等, A = B . 设有集合 A, B, 若 x  A x  B, 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义3.给定两个集合A,B并集 AUB=(x|xEA或xEB)交集 ANB=(x」×Ａ且xB）差集A\B=(xxEA且xB余集A°=U\A直积AxB=((x,y)|xEA, yEB记特例：RxRR2为平面上的全体点集HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 A  B =  x  交集 A  B =  x 且  差集 A \ B =  x 且 x  B 余集 \ c A U A = 直积 A B = (x , y) x  A , y  B  特例: R R 记 2 R 为平面上的全体点集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或

2.区间开区间（α,b)=(xa<x<b闭区间［α,b]={x」α≤x≤b半开区间［α,b)=(x|α≤x<b)(a,b)=(xa<x<b[α,+)={xa≤x无限区间(-0,b]={x| x≤b)(-00,+00)=(x|xeRHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

无限区间 半开区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 开区间 ( a , b ) =  x a  x  b  闭区间 [ a , b ] =  x a  x  b  2. 区间

3.邻域龙U(a,s)=xa-<x<a+s点的邻域x-a<S}aα+d其中，α称为邻域中心，8称为邻域半径去心邻域U(a,S)=(x 0<x-α<福右邻域：(α,α＋)左邻域：(a-,a),HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

( ) a −  a +  点的  邻域 a 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . 去心  邻域 左  邻域 : 右  邻域 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 邻域

4.映射引例学号的集合学生的集合按一定规则查号教室座位学生的集合的集合按一定规则入座.CHIGHEDUCATIONPRESS机动目录返回上页下页结束

学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 学生的集合 教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 4. 映射

定义设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规则f，使得VxEX,有唯一确定的 EY 与之对应，则称f为从X到Y的映射t, 记作f:X →YTXxY元素称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x)原像元素x称为元素y在映射f下的集合X称为映射f的定义域Y的子集 f(X)=（f(x)xEX 称为f的值域HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

定义. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X →Y. 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X ) =  f (x) x X  称为 f 的 值域 . X Y f 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：映射的三要素一定义域，值域，对应规则）元素x的像√是唯一的但√的原像不一定唯一HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页返回结束下页

注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 值域, 对应规则 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束