《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）D5_2微积分基本公式

第五章第二节微积分基本公式、引例一、积分上限函数三（牛顿一莱布尼茨公式）微积分基本公式四、定积分的换元积分法五、定积分的分部积分法HIGH EDUCATION PRESS

二、积分上限函数 三、微积分基本公式（牛顿 – 莱布尼茨公式） 一、引例 第二节 微积分基本公式 第五章 五、定积分的分部积分法 四、定积分的换元积分法

一、引例在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系：s (t) v(t)物体在时间间隔[T，T]内经过的路程为v(t)dt = s(T) s(T)这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性HIGH EDUCATION PRESS

在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、引例 =

二、积分上限函数v积分上限函数1f(x)dx(x)(x) f(t)dt积分上限函数：bxxa·定理5.2（积分上限函数导数）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数(x)f(t)dt在[ab]上可导并且d口 (x) [f(0)dt f(x) (axb)drHIGH EDUCATION PRESS

机动 目录 上页 下页 返回 结束 v积分上限函数 •定理5.2(积分上限函数导数) 在[a￾ b]上可导￾ 并且 二、积分上限函数 如果函数f (x)在区间[a, b]上连续, 则积分上限函数 积分上限函数：

兴()dt f(x) (a x b) 口(x) 口(x) f(t)dtdx证：(1)x,xh(a,b)，则有x(x h) ()" (t)dt i()dthhbxXaf(t)dtf()(xxh)xhf(x)C[a,b](xh)(x)limf(f(x)（x)limhh0h0(a)f(a)(2)若x=a.取h>0.则证毕口（(b)口 f(b)若x=b.取h<0.则HIGH EDUCATION PRESS同

证: 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕

·定理5.2（积分上限函数导数）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt在[ab]上可导并且d口 (x) [f(t)dt f(x) (a xb)dr结论（原函数存在定理）若f(x)C[a,b],则积分上限函数(x)口f(t)di是f(x)在[a,b]上的一个原函数HIGHEDUCATION PRESS

•定理5.2(积分上限函数导数) 在[a￾ b]上可导￾ 并且 如果函数f (x)在区间[a, b]上连续, 则积分上限的函数 若 则积分上限函数 结论 (原函数存在定理)

积分上限函数求导d. f(t)dt f(x)dd推广：f(t)dt f(x)dd(x)f (t)dt f[(x)](x)dxad()(x9f(t)dtf(t)dtf(t)dtdxD(x)中（x）dx口f[(x)]o(x)f[()]（x)HIGH EDUCATION PRESS

推广: 积分上限函数求导: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求下列函数的导数(1）(2(3)HIGHEDUCATION PRESS

例1.求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4）

练习：求下列函数的导数(1)ot/i+r'dt(2)0x/1+t’dt(3)6(x- t)/1+t’dtHIGHEDUCATION PRESS

练习：求下列函数的导数

例2. 求lim例3. 求Sx0HIGHEDUCATION PRESS说明返回

说明 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 例3. 求

例4.设f(x)在[0,)内连续,且f(x)0,证明F(x) tf(t)dt只要证f(t)dtF(x) 0在(O,)内为单调递增函数f(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt证：F(x)af(t)dt f(x) (x t) f(t)dtf(x)I (x f()x口0if(t)dt ?if(t)dt (0x)F(x)在O,)内为单调增函数HIGH EDUCATION PRESS返同

例4. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: 只要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束